Giải tích được Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz tìm ra một cách độc lập trong nửa sau thế kỷ 17. Newton phát triển phương pháp của mình trước, khoảng năm 1665–1666, nhưng công bố rất muộn; Leibniz phát triển muộn hơn khoảng một thập niên nhưng công bố trước, năm 1684, với hệ ký hiệu mà ngày nay cả thế giới vẫn dùng. Cuộc tranh chấp quyền ưu tiên giữa hai phía kéo dài nhiều chục năm và để lại hậu quả cho toán học nước Anh.
Nhưng giải tích không ra đời từ hai người. Nó là đỉnh của một chuỗi ý tưởng từ Archimedes đến các nhà toán học thế kỷ 17 như Fermat, Cavalieri, Barrow, và nó chỉ trở thành một lý thuyết chặt chẽ ở thế kỷ 19 với Cauchy và Weierstrass. Đọc lịch sử này giúp sinh viên năm nhất hiểu vì sao định nghĩa giới hạn lại rườm rà đến thế: nó là câu trả lời cho một lời chỉ trích có thật.
Trước Newton và Leibniz: hai nghìn năm chuẩn bị
Giải tích giải quyết hai loại bài toán: tìm tốc độ thay đổi, hay hệ số góc tiếp tuyến, và tìm diện tích, hay tổng của vô số phần nhỏ. Cả hai đã có người làm từ rất lâu trước thế kỷ 17, chỉ là mỗi bài một mẹo riêng.
Archimedes ở thế kỷ 3 trước Công nguyên tính diện tích hình giới hạn bởi một parabol và một dây cung bằng phương pháp vét cạn: lấp đầy hình bằng các tam giác ngày càng nhỏ, cộng diện tích lại, rồi chứng minh bằng phản chứng rằng kết quả không thể lớn hơn hay nhỏ hơn 4/3 diện tích tam giác lớn nhất bên trong. Đây là một phép tính tích phân thật sự, chỉ thiếu ngôn ngữ chung để áp cho bài khác.
Đầu thế kỷ 17, Cavalieri coi một hình như được ghép từ vô số lát mỏng, Fermat tìm cực đại và tiếp tuyến bằng cách so giá trị hàm tại hai điểm rất gần nhau, còn Isaac Barrow, thầy của Newton ở Cambridge, đã thấy trong hình học rằng bài toán tiếp tuyến và bài toán diện tích có liên hệ ngược nhau. Nguyên liệu đã đủ. Điều còn thiếu là một thuật toán chung: một bộ quy tắc mà ai cũng áp dụng được cho mọi hàm, không cần nghĩ ra mẹo mới cho từng bài.
Newton và Leibniz mỗi người đã làm gì
Newton, khoảng 1665–1666. Khi Đại học Cambridge đóng cửa vì dịch hạch, Newton về quê và phát triển cái ông gọi là phương pháp fluxion: coi một đại lượng như chảy theo thời gian và tìm tốc độ chảy của nó. Ông dùng chuỗi vô hạn rất thành thạo và nắm được định lý cơ bản nối hai bài toán tiếp tuyến và diện tích.
Newton công bố muộn và dè dặt. Ông chỉ cho bạn bè đọc bản thảo. Ngay cả trong Principia năm 1687, phần lớn lập luận được trình bày bằng hình học kiểu cổ điển chứ không bằng phương pháp mới, có lẽ để người đọc thời đó dễ chấp nhận hơn. Các trình bày đầy đủ về fluxion chỉ được in nhiều năm sau.
Leibniz, khoảng 1675. Leibniz đến giải tích từ hướng khác: ông nghĩ về tổng và hiệu của dãy số, rồi chuyển sang các đại lượng vô cùng nhỏ. Ông đặt ra ký hiệu dx cho một lượng thay đổi rất nhỏ của x và dấu tích phân hình chữ S kéo dài, lấy từ chữ đầu của từ Latinh nghĩa là tổng.
Leibniz công bố năm 1684. Bài báo đầu tiên của ông về phép tính vi phân in trên tạp chí Acta Eruditorum ở Leipzig. Các học trò và người theo ông, nổi bật là anh em nhà Bernoulli, nhanh chóng dùng phương pháp mới giải hàng loạt bài toán, như bài toán đường đoản thời do Johann Bernoulli đặt ra năm 1696.
Ký hiệu nào thắng? Ký hiệu của Leibniz thắng vì nó "tự tính hộ". Viết dy/dx giống một phân số khiến quy tắc đạo hàm hàm hợp trông như rút gọn phân số, và đổi biến trong tích phân trông như thay thế đại số. Ký hiệu chấm của Newton gọn khi đạo hàm theo thời gian, nhưng kém linh hoạt khi bài toán có nhiều biến.
Cuộc tranh chấp: chuyện gì đã xảy ra
Lúc đầu quan hệ giữa hai người khá lịch sự, có trao đổi thư. Mâu thuẫn bùng lên khi những người ủng hộ Newton bắt đầu ám chỉ Leibniz đã lấy ý tưởng từ các bản thảo ông được xem.
- Khoảng đầu thế kỷ 18, một số nhà toán học Anh công khai cáo buộc Leibniz đạo văn; phía Leibniz phản bác và đáp trả theo kiểu tương tự.
- Năm 1712, Hội Hoàng gia Luân Đôn lập một uỷ ban xem xét và ra báo cáo kết luận nghiêng về Newton. Điều sau này được giới sử học chỉ ra là Newton, khi đó là chủ tịch Hội, đã tham gia rất sâu vào việc soạn báo cáo, nên khó gọi đó là một phán xét độc lập.
- Leibniz mất năm 1716 khi tranh chấp chưa ngã ngũ; Newton tiếp tục bảo vệ quyền ưu tiên của mình nhiều năm sau.
- Ngày nay, quan điểm chung của giới sử học là hai người phát triển giải tích độc lập: Newton trước về thời gian, Leibniz trước về công bố, và mỗi người đóng góp những phần riêng.
- Hậu quả mà nhiều sử gia nhắc tới là toán học Anh trung thành với ký hiệu và cách tiếp cận của Newton trong một thời gian dài, tách khỏi dòng chảy sôi động ở lục địa châu Âu, nơi các Bernoulli, Euler và những người khác phát triển giải tích theo ký hiệu Leibniz.
Câu chuyện này đáng đọc không phải để chọn phe, mà để thấy rằng quyền ưu tiên trong khoa học phụ thuộc vào cả việc làm ra lẫn việc công bố, và một hệ ký hiệu tốt có thể quyết định một lý thuyết lan rộng nhanh hay chậm.
Lời chỉ trích của Berkeley và vì sao định nghĩa giới hạn rườm rà
Giải tích thế kỷ 17 và 18 cho kết quả đúng nhưng nền móng lung lay. Thử tính đạo hàm của x bình phương theo kiểu Leibniz: lấy (x cộng dx) bình phương trừ x bình phương, được 2x nhân dx cộng dx bình phương; chia cho dx được 2x cộng dx; rồi "bỏ dx vì nó vô cùng nhỏ" và được 2x. Kết quả đúng. Nhưng nếu dx khác 0 thì sao được bỏ, còn nếu dx bằng 0 thì sao được chia?
Năm 1734, triết gia George Berkeley xuất bản cuốn The Analyst chỉ ra đúng mâu thuẫn này, mỉa mai các đại lượng vô cùng nhỏ là "bóng ma của những đại lượng đã mất". Lời chỉ trích có lý, và các nhà toán học mất gần một thế kỷ mới trả lời trọn vẹn.
Câu trả lời đến từ Augustin-Louis Cauchy, với giáo trình giải tích năm 1821 đặt khái niệm giới hạn làm trung tâm, và từ Karl Weierstrass ở giữa thế kỷ 19, người viết giới hạn thành ngôn ngữ epsilon – delta mà sinh viên ngày nay vẫn học. Ý cốt lõi: không cần đại lượng vô cùng nhỏ. Nói "2x cộng h tiến tới 2x khi h tiến tới 0" chỉ có nghĩa là với mọi sai số cho trước, ta tìm được một khoảng của h đủ nhỏ để sai lệch nằm trong mức đó. Mọi thứ chỉ dùng số thực bình thường.
Vì vậy, khi bạn thấy định nghĩa epsilon – delta khó và vòng vèo, hãy nhớ nó được thiết kế để trả lời Berkeley. Thế kỷ 20 còn có một bước bất ngờ: Abraham Robinson xây dựng giải tích không chuẩn, cho thấy đại lượng vô cùng nhỏ có thể được định nghĩa chặt chẽ bằng logic hiện đại. Trực giác của Leibniz hoá ra không sai, chỉ là cần công cụ mà thời ông chưa có.
Hiểu lầm phổ biến và thực tế
Các câu chuyện về Newton, Leibniz và giải tích được kể lại nhiều đến mức bị mài nhẵn. Bảng dưới đây gom những chỗ hay sai.
| Hiểu lầm | Thực tế |
|---|---|
| Newton một mình phát minh ra giải tích | Hai người độc lập, trên nền công trình của nhiều người trước đó |
| Leibniz chép của Newton | Không có bằng chứng thuyết phục; giới sử học coi là phát triển độc lập |
| Giải tích của Newton đã chặt chẽ như ngày nay | Nền móng chỉ được làm chặt ở thế kỷ 19 với Cauchy và Weierstrass |
| Principia được viết bằng giải tích | Phần lớn lập luận trong Principia trình bày bằng hình học |
| Chuyện quả táo rơi trúng đầu Newton | Một người quen của Newton kể lại rằng ông nhắc đến cảnh quả táo rơi khi nghĩ về lực hấp dẫn; chi tiết rơi trúng đầu là thêm thắt về sau |
| Đại lượng vô cùng nhỏ là sai và đã bị loại bỏ | Giải tích chuẩn không dùng, nhưng giải tích không chuẩn của Robinson cho chúng một nền móng chặt chẽ |
Khi viết hay giảng về đề tài này, cách an toàn là dùng các từ có mức độ: "theo các thư từ còn lại", "giới sử học cho rằng", "câu chuyện được kể lại". Những từ này không làm bài yếu đi mà cho người đọc biết đâu là chỗ có thể kiểm.
Dùng AI để học lịch sử giải tích song song với học giải tích
Sinh viên năm nhất thường học giải tích như một bộ quy tắc. Đặt quy tắc vào lịch sử giúp bạn hiểu vì sao nó có hình dạng đó. Một quy trình gợi ý khi học với chatbot:
- Mỗi khi học một khái niệm mới, hỏi nguồn gốc: "Khái niệm đạo hàm được hình thành qua những bước nào từ Fermat đến Cauchy? Trả lời theo dòng thời gian, mỗi mốc một câu, chỗ nào không chắc năm thì ghi là khoảng."
- Tự tính lại ví dụ kiểu Leibniz bằng tay với x lập phương: (x cộng dx) lập phương trừ x lập phương, chia dx, rồi xem phần nào biến mất. So với quy tắc đạo hàm bạn đã học.
- Nhờ AI đóng vai Berkeley để phản biện lời giải của bạn: "Hãy chỉ ra chỗ nào trong lời giải sau dùng đại lượng vô cùng nhỏ mà không định nghĩa." Rồi tự viết lại bằng ngôn ngữ giới hạn.
- Kiểm mọi trích dẫn. Chatbot hay đưa ra những câu nói "của Newton" hoặc "của Leibniz" nghe rất văn chương; nếu không có tên văn bản gốc và năm, đừng dùng.
- Ghi lại một trang tổng kết bằng lời của bạn. Đó là thứ bạn sẽ dùng khi ôn thi, không phải đoạn hội thoại dài với chatbot.
Câu hỏi thường gặp
Định lý cơ bản của giải tích là gì và ai tìm ra?
Định lý cơ bản nói rằng lấy đạo hàm và lấy tích phân là hai phép ngược nhau: đạo hàm của hàm diện tích dưới đồ thị chính là hàm ban đầu. Barrow đã thấy mối liên hệ này dưới dạng hình học, còn Newton và Leibniz nhận ra nó là chìa khoá để biến các bài toán diện tích thành bài toán tìm nguyên hàm, tức là thành một thuật toán.
Ký hiệu f phẩy cho đạo hàm từ đâu ra?
Ký hiệu f phẩy gắn với Joseph-Louis Lagrange ở cuối thế kỷ 18. Ngày nay bạn gặp ba hệ song song: ký hiệu dy/dx của Leibniz, f phẩy của Lagrange, và dấu chấm trên đầu của Newton, thường dùng trong vật lý khi đạo hàm theo thời gian. Biết nguồn gốc giúp bạn đọc tài liệu các ngành khác nhau mà không bối rối.
Fermat có được xem là người phát minh giải tích không?
Fermat có phương pháp tìm cực trị và tiếp tuyến rất gần với đạo hàm, nên một số nhà toán học, trong đó có Lagrange, từng coi ông là người khởi đầu phép tính vi phân. Tuy vậy, ông không xây dựng được một hệ quy tắc chung và không nối bài toán tiếp tuyến với bài toán diện tích, nên thường được xem là người đi trước quan trọng.
Học giải tích có cần biết lịch sử này không?
Không bắt buộc để làm bài tập, nhưng rất có ích khi bạn vướng ở định nghĩa giới hạn hay ở ý nghĩa của dx trong tích phân. Biết rằng các nhà toán học lớn cũng phải mất hơn một thế kỷ mới làm rõ những điểm này giúp bạn bớt nghĩ rằng mình kém, và hiểu đúng chỗ khó nằm ở đâu.
Giải tích không chuẩn có được dạy ở đại học không?
Rất ít trường dạy giải tích không chuẩn như giáo trình chính, vì nó cần nền logic toán khá nặng để dựng cho chặt. Có một số giáo trình nhập môn thử dạy giải tích theo hướng này cho trực quan hơn. Với sinh viên thông thường, học theo hướng giới hạn chuẩn vẫn là con đường chính.
Nên đọc gì để hiểu thêm về cuộc tranh chấp Newton – Leibniz?
Bạn nên tìm các tiểu sử khoa học viết bởi sử gia chuyên nghiệp và các chương về thế kỷ 17 trong giáo trình lịch sử toán học. Những bài báo phổ thông thường kể theo một phía. Khi chatbot gợi ý sách, hãy tra từng tên trên danh mục thư viện vì AI có thể đưa ra tên sách không tồn tại.