Định lý Fermat lớn nói rằng phương trình x mũ n cộng y mũ n bằng z mũ n không có nghiệm nguyên dương khi n lớn hơn 2. Pierre de Fermat ghi khẳng định này bên lề một cuốn sách vào khoảng năm 1637, kèm câu nói rằng mình có một chứng minh tuyệt diệu nhưng lề sách quá hẹp để viết ra. Andrew Wiles công bố chứng minh năm 1993, sửa xong lỗ hổng cùng Richard Taylor năm 1994, và bài báo in năm 1995.
Điều làm câu chuyện này hấp dẫn là khoảng cách giữa đề bài và lời giải. Đề bài một học sinh lớp 8 hiểu được; lời giải dùng những công cụ của thế kỷ 20 nằm rất xa số học sơ cấp: đường cong eliptic, dạng modular và biểu diễn Galois. Đi theo lịch sử của nó là đi qua gần như toàn bộ sự phát triển của lý thuyết số trong ba thế kỷ.
Từ bộ ba Pythagoras đến ghi chú bên lề
Với n bằng 2, phương trình có vô số nghiệm: 3, 4, 5 vì 9 cộng 16 bằng 25; 5, 12, 13 vì 25 cộng 144 bằng 169. Từ thời Euclid người ta đã biết cách sinh ra mọi bộ ba như vậy: chọn hai số nguyên dương m lớn hơn k, rồi lấy m bình phương trừ k bình phương, 2 nhân m nhân k, và m bình phương cộng k bình phương. Với m bằng 2, k bằng 1 được bộ 3, 4, 5; với m bằng 3, k bằng 2 được 5, 12, 13. Bạn có thể tự kiểm bằng phép tính.
Fermat là một luật sư ở Toulouse, làm toán như một đam mê, và thường trao đổi kết quả qua thư mà ít khi viết chứng minh. Ông đọc bản dịch tiếng Latinh của Arithmetica, tác phẩm của Diophantus ở Alexandria, và ghi các nhận xét bên lề. Bên cạnh bài toán chia một số chính phương thành tổng hai số chính phương, ông viết rằng không thể chia một lập phương thành tổng hai lập phương, hay một luỹ thừa bậc bốn thành tổng hai luỹ thừa bậc bốn, và tổng quát với mọi bậc lớn hơn hai.
Fermat mất năm 1665. Con trai ông cho in một bản Arithmetica kèm các ghi chú của cha vào năm 1670, và từ đó thế giới biết đến khẳng định này. Gọi là "định lý cuối cùng" vì trong các khẳng định Fermat để lại, đây là cái cuối cùng chưa ai chứng minh hay bác bỏ được, chứ không phải điều ông viết cuối cùng trong đời.
Hầu hết các nhà toán học ngày nay tin rằng Fermat không có chứng minh đúng cho trường hợp tổng quát. Lý do là các công cụ cần thiết không tồn tại thời đó, và nhiều "chứng minh" ngắn mà các thế hệ sau thử đều vấp ở những chỗ tinh tế, đặc biệt là việc phân tích thành thừa số nguyên tố không phải lúc nào cũng duy nhất trong các hệ số mở rộng.
Ba thế kỷ tiến từng bước nhỏ
Trước Wiles, các nhà toán học chứng minh định lý cho từng giá trị n hoặc từng họ giá trị. Chỉ cần chứng minh cho n bằng 4 và cho mọi số nguyên tố lẻ, vì mọi n lớn hơn 2 đều chia hết cho 4 hoặc cho một số nguyên tố lẻ.
- n bằng 4, chính Fermat: dùng phương pháp lùi vô hạn, giả sử có nghiệm rồi chỉ ra luôn tìm được nghiệm nhỏ hơn, điều không thể xảy ra mãi với số nguyên dương. Đây là trường hợp duy nhất có dấu vết chứng minh của Fermat.
- n bằng 3, Euler năm 1770: chứng minh có một chỗ hở được lấp lại sau, nhưng ý tưởng dùng các số dạng a cộng b nhân căn của âm 3 mở ra hướng đi mới.
- Sophie Germain, đầu thế kỷ 19: đưa ra một kết quả đúng cho cả một lớp số nguyên tố trong một trường hợp của bài toán, là bước đầu tiên tấn công nhiều số mũ cùng lúc.
- n bằng 5 và 7: được giải quyết trong khoảng các năm 1825 đến 1839 nhờ Dirichlet, Legendre và Lamé.
- Ernst Kummer, giữa thế kỷ 19: chứng minh định lý cho mọi số nguyên tố "chính quy", và trong quá trình đó phát triển lý thuyết ideal để xử lý việc phân tích thừa số mất tính duy nhất. Lý thuyết này về sau thành một nhánh lớn của đại số.
- Thế kỷ 20 với máy tính: định lý được kiểm cho mọi số mũ đến hàng triệu, nhưng kiểm từng trường hợp không bao giờ thành chứng minh cho vô hạn số mũ.
Đầu thế kỷ 20, một giải thưởng mang tên Wolfskehl được lập ở Đức cho ai chứng minh được định lý. Nó thu hút hàng nghìn bản chứng minh sai gửi về Göttingen, đến mức người ta phải in sẵn mẫu thư trả lời chỉ chừa chỗ điền trang có lỗi. Wiles nhận giải này năm 1997.
Bước nối bất ngờ: đường cong eliptic và dạng modular
Bước ngoặt đến từ một hướng không ai ngờ. Giữa thập niên 1950, Yutaka Taniyama và Goro Shimura đưa ra một giả thuyết, sau được André Weil góp phần phát biểu rõ, nói rằng mọi đường cong eliptic trên số hữu tỉ đều gắn với một dạng modular. Hai loại đối tượng này thuộc hai thế giới khác hẳn: đường cong eliptic là các đường cho bởi phương trình bậc ba kiểu y bình phương bằng x lập phương cộng a nhân x cộng b, còn dạng modular là các hàm phức có tính đối xứng cực cao. Giả thuyết là một cây cầu nối hai thế giới.
Năm 1984, Gerhard Frey gợi ý rằng nếu có một nghiệm của phương trình Fermat, thì từ nghiệm đó dựng được một đường cong eliptic rất lạ, lạ đến mức không thể modular. Jean-Pierre Serre làm rõ điều cần chứng minh, và năm 1986 Ken Ribet chứng minh được: đường cong của Frey quả thật không thể modular.
Logic lúc này rất gọn. Nếu giả thuyết Taniyama – Shimura đúng, ít nhất cho một lớp đường cong gọi là nửa ổn định, thì mọi đường cong như vậy đều modular. Đường cong Frey thuộc lớp đó nhưng không modular. Vậy đường cong Frey không tồn tại, nghĩa là phương trình Fermat không có nghiệm. Bài toán Fermat được quy về chứng minh một trường hợp của một giả thuyết lớn mà trước đó ai cũng coi là ngoài tầm với.
Hành trình của Andrew Wiles
Andrew Wiles kể rằng từ nhỏ ông đã bị cuốn hút bởi bài toán Fermat. Khi nghe tin về kết quả của Ribet năm 1986, ông quyết định dồn sức vào đó. Các mốc chính:
| Thời gian | Sự kiện |
|---|---|
| 1986–1993 | Wiles làm việc gần như bí mật khoảng bảy năm, chỉ chia sẻ với rất ít người |
| Tháng 6 năm 1993 | Trình bày chứng minh trong chuỗi bài giảng ở Viện Isaac Newton, Cambridge, gây tiếng vang lớn |
| Cuối năm 1993 | Trong quá trình thẩm định, phát hiện một lỗ hổng ở một bước then chốt của lập luận |
| Tháng 9 năm 1994 | Cùng học trò cũ Richard Taylor, Wiles tìm được cách đi vòng qua lỗ hổng |
| Năm 1995 | Hai bài báo, một của Wiles và một của Taylor cùng Wiles, được in trên Annals of Mathematics |
| Năm 2001 | Breuil, Conrad, Diamond và Taylor chứng minh trọn giả thuyết cho mọi đường cong eliptic trên số hữu tỉ |
| Năm 2016 | Wiles nhận giải Abel |
Năm 1998, Wiles đã quá bốn mươi tuổi, giới hạn tuổi của huy chương Fields, nên Liên đoàn Toán học Quốc tế trao cho ông một tấm bảng bạc đặc biệt. Câu chuyện lỗ hổng năm 1993 là ví dụ đẹp về vai trò của thẩm định: một chứng minh được công bố trước đông người vẫn chưa phải là chứng minh cho đến khi các chuyên gia kiểm xong từng bước.
Khi gặp "chứng minh Fermat ngắn" hay "phản ví dụ" trên mạng
Kiểm chẵn lẻ trước tiên. Thỉnh thoảng có những đẳng thức lan truyền kiểu 1782 mũ 12 cộng 1841 mũ 12 bằng 1922 mũ 12, trông đúng trên máy tính bỏ túi. Nhìn chẵn lẻ: 1782 chẵn nên luỹ thừa chẵn, 1841 lẻ nên luỹ thừa lẻ, tổng là số lẻ; còn 1922 chẵn nên vế phải chẵn. Một số lẻ không thể bằng một số chẵn. Máy tính bỏ túi chỉ hiển thị khoảng mười chữ số nên làm tròn hai vế thành bằng nhau.
Kiểm chữ số tận cùng. Một phép thử khác là xem chữ số cuối của từng luỹ thừa, hoặc số dư khi chia cho 3, cho 9. Những phép kiểm này không cần máy tính và loại được phần lớn "phản ví dụ" giả.
Với chứng minh ngắn, tìm chỗ dùng phân tích thừa số. Rất nhiều chứng minh sơ cấp sai vì ngầm cho rằng phân tích thừa số là duy nhất trong mọi hệ số mở rộng. Chính chỗ này đã làm Lamé vấp năm 1847 và dẫn Kummer tới lý thuyết ideal.
Đừng nhờ chatbot "xác nhận" chứng minh. Mô hình ngôn ngữ có xu hướng đồng tình hoặc khen một lập luận nghe có lý. Thay vào đó, hãy yêu cầu: "Tìm bước yếu nhất trong lập luận sau và chỉ ra giả thiết ngầm." Rồi tự kiểm lại bước đó.
Dùng máy để tính chính xác. Muốn kiểm một đẳng thức với số lớn, dùng ngôn ngữ lập trình có số nguyên độ dài tuỳ ý hoặc máy tính đại số, không dùng máy tính bỏ túi hay bảng tính, vì chúng làm tròn.
Tự học câu chuyện Fermat ở mức sinh viên với AI
Bạn không cần hiểu hết chứng minh của Wiles để nắm được cấu trúc của nó. Một lộ trình hợp lý:
- Tự chứng minh trường hợp n bằng 4 theo phương pháp lùi vô hạn, dựa trên công thức sinh bộ ba Pythagoras. Nhờ AI gợi ý từng bước khi bí, nhưng không xin lời giải đầy đủ ngay.
- Tìm hiểu vì sao phân tích thừa số không duy nhất trong hệ số dạng a cộng b nhân căn của âm 5: ví dụ 6 bằng 2 nhân 3 và cũng bằng (1 cộng căn âm 5) nhân (1 trừ căn âm 5). Yêu cầu AI giải thích vì sao các thừa số này không phân tích tiếp được, rồi tự kiểm bằng hàm chuẩn, tức tích của số với số liên hợp của nó.
- Đọc giới thiệu về đường cong eliptic: vẽ vài đường cong y bình phương bằng x lập phương trừ x, tìm điểm hữu tỉ trên đó. Câu lệnh mẫu: "Giải thích phép cộng điểm trên đường cong eliptic bằng hình học, kèm một ví dụ số nhỏ mà kết quả là điểm có toạ độ nguyên."
- Đọc tóm tắt cấu trúc chứng minh: Frey, Ribet, Wiles. Yêu cầu AI trình bày như một chuỗi mệnh đề "nếu – thì", mỗi mệnh đề ghi tên người và năm chứng minh, sau đó đối chiếu với tài liệu lịch sử.
- Ghi lại câu hỏi mà bạn chưa hiểu và mang lên lớp hoặc nhóm học. Phần lớn giá trị nằm ở việc biết mình chưa hiểu chỗ nào.
Câu hỏi thường gặp
Chứng minh của Wiles dài bao nhiêu và có ai kiểm lại chưa?
Bài báo chính của Wiles dài hơn một trăm trang, dựa trên nhiều công trình nền khác. Nó đã được nhiều chuyên gia thẩm định trước khi in năm 1995, và các kỹ thuật trong đó đã được dùng, mở rộng trong rất nhiều công trình sau. Giới toán học coi chứng minh là hoàn chỉnh và đúng.
Có chứng minh nào ngắn hơn hoặc sơ cấp hơn không?
Đến nay chưa có chứng minh sơ cấp nào được chấp nhận. Các nhà toán học không loại trừ khả năng tìm được con đường khác, nhưng không ai kỳ vọng một chứng minh vài trang dùng kiến thức phổ thông. Nếu bạn gặp một bài như vậy trên mạng, gần như chắc có lỗi ở một bước tinh tế.
Định lý Fermat nhỏ khác gì định lý Fermat lớn?
Định lý Fermat nhỏ nói rằng nếu p là số nguyên tố và a không chia hết cho p, thì a mũ p trừ 1 chia p dư 1. Nó dễ chứng minh hơn nhiều và được dùng rộng rãi trong mật mã học và kiểm tra số nguyên tố. Hai định lý chỉ chung tên người, không liên quan về nội dung.
Chứng minh của Wiles có ứng dụng thực tế nào không?
Bản thân định lý Fermat lớn không có ứng dụng trực tiếp. Nhưng lý thuyết đường cong eliptic, mà chứng minh đã thúc đẩy mạnh, là nền của mật mã đường cong eliptic dùng trong nhiều giao thức bảo mật hiện nay. Đây là ví dụ quen thuộc về việc toán thuần tuý về sau tìm được chỗ dùng.
Vì sao bài toán này nổi tiếng hơn nhiều bài toán khó khác?
Vì đề bài cực ngắn, ai cũng hiểu, lại có câu chuyện về ghi chú bên lề và hơn ba thế kỷ thất bại. Về mặt toán học, nhiều bài toán khác quan trọng hơn, nhưng Fermat là ví dụ hiếm hoi mà công chúng theo dõi được từ đầu đến cuối.