Số pi là tỉ số giữa chu vi và đường kính của một hình tròn, giá trị như nhau với mọi hình tròn, xấp xỉ 3,14159. Lịch sử của nó là lịch sử của các phương pháp tính: đo bằng dây, kẹp giữa hai đa giác, cộng chuỗi vô hạn, rồi giao cho máy tính. Mỗi phương pháp mới không chỉ cho thêm chữ số mà còn kéo theo một mảng toán học mới.
Ba mốc nên nhớ: Archimedes ở thế kỷ 3 trước Công nguyên chứng minh pi nằm giữa 3 10/71 và 3 1/7; Tổ Xung Chi ở Trung Hoa thế kỷ 5 tìm ra phân số 355/113 đúng tới sáu chữ số thập phân; và năm 1882 Lindemann chứng minh pi là số siêu việt, chấm dứt bài toán cầu phương hình tròn kéo dài hai nghìn năm. Bài này đi qua từng mốc, kèm các phép tính bạn tự kiểm được.
Trước Archimedes: những giá trị đo được
Các nền văn minh cổ đều cần pi trong việc thực tế: tính lượng thóc trong kho tròn, lượng gạch xây tường tròn, diện tích ruộng. Họ thường không có khái niệm một hằng số riêng mà dùng các quy tắc tính sẵn. Một bảng đất sét của người Babylon cho thấy họ dùng tỉ số tương đương 3 1/8, tức 3,125. Cuộn giấy cói Rhind của Ai Cập, khoảng thế kỷ 17 trước Công nguyên, tính diện tích hình tròn bằng cách lấy hình vuông có cạnh bằng 8/9 đường kính, tương đương pi khoảng 3,1605.
Cả hai giá trị đều sai lệch dưới một phần trăm, đủ tốt cho xây dựng thời đó. Điểm quan trọng là chúng là kết quả đo và quy tắc kinh nghiệm, không đi kèm lý lẽ vì sao đúng hay sai bao nhiêu. Người ta biết công thức cho ra số dùng được, nhưng không biết sai số tối đa là bao nhiêu và làm cách nào để chính xác hơn.
Bước chuyển từ đo sang chứng minh chính là điều làm Archimedes nổi bật. Ông không đưa ra một con số "đúng hơn" mà đưa ra một phương pháp có thể lặp lại để đạt độ chính xác tuỳ ý, kèm bằng chứng rằng giá trị thật nằm trong một khoảng xác định. Đây là tư duy mà mọi phép tính số hiện đại vẫn dùng: không chỉ cho kết quả, mà cho cả giới hạn sai số.
Archimedes kẹp pi bằng đa giác: làm lại từng bước
Ý tưởng của Archimedes đơn giản đến mức bạn có thể kể lại trong một phút, còn phần khó nằm ở việc tính căn bậc hai bằng tay với độ chính xác cao. Dưới đây là các bước theo tinh thần của ông.
- Vẽ một hình tròn đường kính 1, chu vi của nó chính là pi. Vẽ một lục giác đều nội tiếp, tức nằm trong và chạm đường tròn, và một lục giác đều ngoại tiếp, tức nằm ngoài và tiếp xúc đường tròn.
- Chu vi lục giác nội tiếp nhỏ hơn chu vi hình tròn, chu vi lục giác ngoại tiếp lớn hơn. Với lục giác nội tiếp, mỗi cạnh bằng bán kính, nên chu vi bằng 3. Vậy pi lớn hơn 3.
- Nhân đôi số cạnh: từ 6 lên 12, 24, 48 rồi 96. Mỗi lần nhân đôi, hai đa giác ép sát đường tròn hơn, khoảng cách giữa chu vi trong và ngoài thu hẹp.
- Ở mỗi bước, tính cạnh của đa giác mới từ cạnh đa giác cũ bằng định lý Pythagoras. Archimedes phải xấp xỉ các căn bậc hai bằng phân số, và ông luôn làm tròn theo hướng an toàn: làm tròn xuống cho cận dưới, làm tròn lên cho cận trên, để khoảng kẹp vẫn đúng.
- Với 96 cạnh, ông thu được 3 10/71 nhỏ hơn pi nhỏ hơn 3 1/7. Đổi ra thập phân, 223/71 xấp xỉ 3,1408 và 22/7 xấp xỉ 3,1429. Pi thật, 3,14159, nằm gọn giữa hai số này.
Cận trên 22/7 là nguồn gốc của giá trị "pi bằng hai mươi hai phần bảy" mà nhiều người học từ nhỏ. Cần nói rõ với học sinh: 22/7 là một cận trên được chứng minh, không phải giá trị đúng của pi; nó lớn hơn pi khoảng 0,0013.
Phương pháp kẹp giữa hai dãy là tiền thân của khái niệm giới hạn. Gần hai nghìn năm sau, giải tích sẽ chính thức hoá đúng ý tưởng này.
Các mốc tính pi qua những phương pháp khác nhau
Bảng dưới gom các mốc mà giới sử học toán ghi nhận rõ; phần chữ số chỉ nêu mức chính xác, không chép dài vì con số dài dễ sai khi sao chép.
| Thời kỳ | Người hoặc nơi | Phương pháp | Kết quả |
|---|---|---|---|
| Khoảng thế kỷ 17 TCN | Ai Cập, cuộn Rhind | Quy tắc kinh nghiệm | Tương đương khoảng 3,16 |
| Thế kỷ 3 TCN | Archimedes | Đa giác 96 cạnh, kẹp hai phía | Giữa 223/71 và 22/7 |
| Thế kỷ 5 | Tổ Xung Chi | Đa giác rất nhiều cạnh | 7 chữ số đúng, phân số 355/113 |
| Thế kỷ 14–15 | Madhava và trường phái Kerala, Ấn Độ | Chuỗi vô hạn | Mở đầu cách tính bằng chuỗi |
| Thế kỷ 17 | Gregory, Leibniz | Chuỗi arctan | Công thức đẹp nhưng hội tụ chậm |
| 1706 | John Machin | Kết hợp hai giá trị arctan | 100 chữ số thập phân |
| Từ 1949 | Máy tính điện tử | Các công thức hội tụ nhanh | Từ vài nghìn tới nay là hàng trăm nghìn tỷ chữ số |
Kỷ lục số chữ số thay đổi liên tục, nên khi cần con số cụ thể bạn hãy tra thông báo mới nhất thay vì tin vào một bài viết cũ hay một chatbot có dữ liệu đến một mốc nhất định.
Chuỗi vô hạn: khi pi trở thành tổng của vô số phân số
Bước ngoặt tiếp theo là nhận ra pi có thể viết thành một tổng vô hạn. Chuỗi nổi tiếng nhất là pi chia 4 bằng 1 trừ 1/3 cộng 1/5 trừ 1/7 cộng 1/9 và cứ thế đổi dấu mãi. Ở châu Âu, chuỗi này gắn với tên Leibniz và Gregory ở thế kỷ 17, nhưng các nhà toán học trường phái Kerala ở Ấn Độ, bắt đầu từ Madhava, đã biết những chuỗi tương đương từ thế kỷ 14 hoặc 15. Ngày nay nhiều tài liệu gọi đây là chuỗi Madhava – Leibniz để ghi nhận cả hai.
Chuỗi này đẹp nhưng hội tụ rất chậm. Bạn có thể tự tính: lấy 4 nhân tổng của một số hạng được 4; hai số hạng được khoảng 2,6667; ba số hạng được 3,4667; bốn số hạng được 2,8952; năm số hạng được 3,3397. Sau mười số hạng, kết quả mới khoảng 3,0418, vẫn sai ở chữ số thập phân đầu tiên. Muốn đúng vài chữ số cần hàng nghìn số hạng. Giá trị dao động quanh pi, lúc trên lúc dưới, đúng như tính chất của chuỗi đan dấu.
Vì thế các nhà toán học tìm cách làm chuỗi hội tụ nhanh hơn. Năm 1706, John Machin dùng đẳng thức pi chia 4 bằng 4 lần arctan của 1/5 trừ arctan của 1/239. Vì 1/5 và 1/239 đều nhỏ, các chuỗi arctan tương ứng hội tụ nhanh, và ông tính được 100 chữ số thập phân. Công thức kiểu Machin được dùng trong các kỷ lục tính tay và cả những kỷ lục đầu tiên bằng máy tính.
Đầu thế kỷ 20, Srinivasa Ramanujan công bố những chuỗi cho 1/pi hội tụ cực nhanh, mỗi số hạng thêm khoảng tám chữ số đúng. Các thuật toán hiện đại dùng để lập kỷ lục thuộc cùng họ ý tưởng đó.
Vô tỉ, siêu việt và bài toán cầu phương hình tròn
Pi là số vô tỉ. Johann Heinrich Lambert chứng minh điều này vào thập niên 1760: pi không viết được thành tỉ số của hai số nguyên. Hệ quả là phần thập phân của pi không bao giờ dừng và không bao giờ lặp lại theo chu kỳ. Phân số 355/113 rất sát, sai ở chữ số thập phân thứ bảy, nhưng vẫn chỉ là xấp xỉ.
Pi còn là số siêu việt. Năm 1882, Ferdinand von Lindemann chứng minh pi không là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số nguyên. Đây là khẳng định mạnh hơn vô tỉ: căn bậc hai của 2 là số vô tỉ nhưng không siêu việt, vì nó là nghiệm của phương trình x bình phương bằng 2.
Hệ quả: không thể cầu phương hình tròn. Bài toán cổ của người Hy Lạp yêu cầu dựng bằng thước thẳng và compa một hình vuông có diện tích đúng bằng một hình tròn cho trước. Mọi độ dài dựng được bằng thước và compa đều là số đại số, nên khi pi là siêu việt thì căn bậc hai của pi không dựng được. Bài toán được trả lời dứt khoát: không thể.
Còn câu hỏi về các chữ số của pi thì sao? Nhiều người tin rằng mọi dãy chữ số đều xuất hiện đâu đó trong pi. Đó là hệ quả nếu pi là một số "chuẩn tắc", nhưng tính chuẩn tắc của pi đến nay chưa được chứng minh. Các kiểm tra thống kê trên hàng nghìn tỷ chữ số cho thấy chúng phân bố rất đều, song quan sát thống kê không phải là chứng minh.
Dùng AI khi học về số pi: việc nên làm và bẫy cần tránh
Chatbot giải thích ý tưởng khá tốt, nhưng rất dễ sai khi chép chữ số hoặc khi bạn hỏi những câu cần tính chính xác. Một số cách dùng hợp lý:
- Nhờ AI giải thích ý tưởng, đừng nhờ nó đọc chữ số. Câu lệnh mẫu: "Giải thích vì sao phương pháp đa giác của Archimedes cho cận trên và cận dưới của pi, dùng ngôn ngữ của học sinh lớp 10, không cần công thức lượng giác."
- Khi cần chữ số của pi, dùng máy tính đại số hoặc hàm có sẵn trong ngôn ngữ lập trình, không chép từ câu trả lời của chatbot. Mô hình ngôn ngữ sinh chữ số theo xác suất, có thể đúng mười chữ số đầu rồi lệch mà không báo.
- Nhờ AI viết đoạn chương trình nhỏ tính tổng chuỗi Madhava – Leibniz rồi tự chạy để thấy tốc độ hội tụ, thay vì tin bảng số AI liệt kê sẵn. Bạn sẽ tự thấy mười số hạng vẫn còn sai ở chữ số thập phân đầu tiên.
- Kiểm tên và năm: Lambert, Lindemann, Machin, Tổ Xung Chi là những tên ít khi bị nhầm, nhưng năm cụ thể thì chatbot đôi khi lệch. Đối chiếu với giáo trình lịch sử toán học.
- Cẩn thận với giai thoại. Câu chuyện có một đạo luật suýt "ấn định giá trị pi" ở một bang của Mỹ cuối thế kỷ 19 có thật ở mức một dự luật bị dừng lại, nhưng các phiên bản kể trên mạng thường thêm chi tiết; muốn trích thì tìm nguồn gốc.
Một bài tập nhỏ đáng làm: tự viết chương trình áp dụng công thức Machin bằng số thực thông thường, so với hằng số pi có sẵn, và quan sát rằng sai số chỉ còn ở cỡ giới hạn độ chính xác của máy. Bạn vừa lặp lại, trong vài giây, một kỷ lục từng tốn nhiều tháng tính tay.
Cần bao nhiêu chữ số pi trong thực tế
Câu trả lời ngắn: ít hơn bạn nghĩ rất nhiều. Sai số khi dùng pi với k chữ số thập phân là cỡ 10 mũ âm k, tính theo tỉ lệ. Nếu bạn tính chu vi một bánh xe đường kính 60 cm với pi bằng 3,14, sai số khoảng 0,1 cm, nhỏ hơn độ dày lốp mòn. Với pi bằng 3,14159, sai số khi tính chu vi một sân vận động cỡ vài trăm mét chỉ còn cỡ vài phần mười milimét, ví dụ giả định.
Các ngành kỹ thuật chính xác nhất, như tính quỹ đạo tàu vũ trụ, chỉ dùng khoảng mười lăm chữ số thập phân, vì đó là độ chính xác tự nhiên của số thực dấu phẩy động độ chính xác kép trong máy tính và đã vượt xa sai số đo đạc. Vậy vì sao người ta vẫn tính tới hàng nghìn tỷ chữ số?
Có ba lý do chính. Một là kiểm tra phần cứng: chạy một phép tính khổng lồ có đáp án biết trước là cách tốt để phát hiện lỗi bộ nhớ hay bộ xử lý. Hai là thúc đẩy thuật toán: các kỹ thuật nhân số cực lớn phát triển một phần nhờ những cuộc đua này. Ba là câu hỏi toán học về sự phân bố chữ số, như đã nói ở phần trên. Không lý do nào liên quan tới việc cần pi chính xác hơn trong đời sống.
Câu hỏi thường gặp
Ai đặt ký hiệu π cho số pi?
William Jones dùng chữ cái Hy Lạp π cho tỉ số chu vi và đường kính trong một cuốn sách năm 1706. Ký hiệu này trở nên phổ biến chủ yếu nhờ Leonhard Euler dùng nó trong các tác phẩm có ảnh hưởng lớn vào những thập niên tiếp theo. Trước đó các nhà toán học mô tả tỉ số bằng lời hoặc dùng ký hiệu khác nhau.
355/113 tốt đến mức nào so với 22/7?
22/7 đúng hai chữ số thập phân, sai khoảng 0,0013. 355/113 đúng sáu chữ số thập phân, sai khoảng ba phần mười triệu. Với mẫu số nhỏ như vậy mà sát đến thế là điều hiếm; bạn phải lên tới phân số có mẫu số hơn mười nghìn mới tìm được xấp xỉ tốt hơn.
Có thể tính pi bằng cách tung kim hay rắc điểm ngẫu nhiên không?
Có. Bài toán cây kim của Buffon ở thế kỷ 18 cho thấy xác suất một cây kim rơi cắt các đường kẻ song song liên quan đến pi. Ngày nay người ta minh hoạ bằng cách rắc điểm ngẫu nhiên vào hình vuông và đếm tỉ lệ rơi trong hình tròn nội tiếp. Phương pháp này rất hay để dạy xác suất nhưng hội tụ chậm, không dùng để lập kỷ lục.
Pi có xuất hiện ở những chỗ không liên quan đến hình tròn không?
Có, rất nhiều. Tổng nghịch đảo bình phương các số tự nhiên bằng pi bình phương chia 6, kết quả do Euler tìm ra. Pi có mặt trong hàm mật độ của phân phối chuẩn và trong công thức Stirling xấp xỉ giai thừa. Lý do sâu xa thường là có một phép quay hoặc một chu kỳ ẩn bên trong bài toán.
Có nên dạy học sinh học thuộc nhiều chữ số pi không?
Thuộc nhiều chữ số là một thú chơi trí nhớ, không giúp hiểu toán hơn. Với việc học, đáng giá hơn là hiểu vì sao pi là hằng số với mọi hình tròn, vì sao 22/7 chỉ là xấp xỉ, và tự làm lại phương pháp kẹp đa giác với lục giác và thập nhị giác.
Tau là gì và có nên thay pi bằng tau không?
Tau là tên gọi mà một số người đề xuất cho hằng số bằng hai lần pi, tức tỉ số chu vi và bán kính. Lập luận là nhiều công thức gọn hơn khi dùng tau. Đây là tranh luận về quy ước ký hiệu, không ảnh hưởng gì tới nội dung toán học, và pi vẫn là quy ước chuẩn trong mọi giáo trình.