Đạo hàm riêng của hàm f(x, y) theo x là đạo hàm thông thường khi coi y là hằng số; nó cho biết f thay đổi nhanh đến đâu nếu chỉ nhích x, giữ nguyên y. Ví dụ f(x, y) = x²y + 3y có đạo hàm riêng theo x là 2xy và theo y là x² + 3. Gộp các đạo hàm riêng thành một vector, ta được gradient, chỉ hướng hàm tăng nhanh nhất.
Hàm nhiều biến là phần mở đầu của giải tích 2 ở nhiều trường và là nền của tối ưu hoá, vật lý, kinh tế lượng, học máy. Bài này dùng hình ảnh bản đồ địa hình để giải thích hàm hai biến, chỉ cách tính đạo hàm riêng và gradient, phân loại điểm tới hạn (cực đại, cực tiểu, yên ngựa) với một ví dụ tính đúng, giới thiệu tích phân kép, và chỉ ra những chỗ trực giác từ hàm một biến không còn đúng.
Hình dung hàm hai biến như một vùng đồi núi
Hàm một biến có đồ thị là một đường cong. Hàm hai biến z = f(x, y) có đồ thị là một mặt trong không gian ba chiều: với mỗi điểm (x, y) trên mặt đất, z là độ cao. Cách hình dung dễ nhất là một vùng đồi núi, nơi x và y là toạ độ đông – tây, bắc – nam, còn f là độ cao so với mực nước biển.
Vẽ mặt ba chiều lên giấy thì khó, nên người ta dùng đường đồng mức: tập hợp các điểm có cùng giá trị f, giống các đường đồng mức trên bản đồ địa hình mà người đi rừng quen thuộc. Với f(x, y) = x² + y², các đường đồng mức là những đường tròn đồng tâm; mặt đồ thị là một cái bát (paraboloid). Với f(x, y) = x² − y², đường đồng mức là các hyperbol, mặt đồ thị có hình yên ngựa: theo hướng x thì cong lên, theo hướng y thì cong xuống.
Đọc bản đồ đồng mức là kỹ năng đáng luyện vì nó nói nhiều điều mà không cần tính: chỗ các đường dày sát nhau là sườn dốc, chỗ thưa là vùng thoải, một vòng khép kín nhỏ dần là đỉnh hoặc đáy. Phần mềm vẽ đồ thị cho phép xoay mặt ba chiều và hiện đường đồng mức cùng lúc; dùng nó trong vài tuần đầu sẽ giúp trực giác đi trước công thức.
Tính đạo hàm riêng: giữ yên mọi biến trừ một
Đạo hàm riêng theo x, ký hiệu ∂f/∂x hoặc fₓ, được tính như đạo hàm thông thường, coi mọi biến khác là hằng số. Với f(x, y) = x²y + 3y: theo x, số hạng 3y là hằng nên đạo hàm bằng 0, còn x²y cho 2xy; vậy fₓ = 2xy. Theo y, x² đóng vai hệ số, x²y cho x², 3y cho 3; vậy f_y = x² + 3. Tại điểm (1; 2), fₓ = 4 và f_y = 4.
Ý nghĩa hình học: cắt mặt đồ thị bằng mặt phẳng y = 2 (đứng yên theo hướng bắc – nam), ta được một đường cong; fₓ(1; 2) là độ dốc của đường cong đó tại x = 1. Tương tự, f_y là độ dốc khi đi theo hướng y. Đứng trên sườn đồi, fₓ là độ dốc nếu bạn bước về phía đông, f_y là độ dốc nếu bước về phía bắc.
Đạo hàm riêng bậc hai có bốn loại: fₓₓ, f_yy, và hai đạo hàm hỗn hợp fₓ_y, f_yₓ. Với hàm đủ trơn (đạo hàm bậc hai liên tục), hai đạo hàm hỗn hợp bằng nhau; đó là nội dung định lý thường được gọi theo tên Schwarz hoặc Clairaut. Với ví dụ trên, fₓ_y = 2x và f_yₓ = 2x, khớp nhau. Kiểm hai đạo hàm hỗn hợp bằng nhau là một cách tự soát lỗi tính rất tiện.
Gradient và đạo hàm theo hướng
Gradient là vector các đạo hàm riêng. Với hàm hai biến, gradient của f tại một điểm là vector (fₓ, f_y). Tại (1; 2) trong ví dụ trên, gradient là (4; 4). Với hàm ba biến thì gradient có ba thành phần, và cứ thế.
Hướng dốc nhất. Gradient chỉ hướng mà f tăng nhanh nhất, và độ dài của nó là tốc độ tăng theo hướng đó. Người đứng trên sườn đồi muốn leo nhanh nhất thì đi theo gradient; nước chảy theo hướng ngược lại.
Vuông góc với đường đồng mức. Gradient luôn vuông góc với đường đồng mức đi qua điểm đó. Lý do: đi dọc đường đồng mức thì f không đổi, nên mọi tốc độ tăng đều nằm ở hướng vuông góc. Trên bản đồ địa hình, hướng leo thẳng lên dốc luôn cắt vuông góc các đường đồng mức.
Đạo hàm theo hướng. Muốn biết f thay đổi nhanh đến đâu khi đi theo một vector đơn vị u, lấy tích vô hướng của gradient với u. Với gradient (4; 4) và hướng đông – bắc u = (1/căn 2; 1/căn 2), đạo hàm theo hướng bằng 8/căn 2, khoảng 5,66, đúng bằng độ dài gradient vì hướng này trùng hướng gradient.
Liên hệ với học máy. Đi ngược gradient từng bước nhỏ để tìm đáy là ý tưởng của thuật toán xuống dốc dùng trong huấn luyện mô hình. Danh mục toán đứng sau trí tuệ nhân tạo của trang bàn kỹ phần này.
Tìm và phân loại điểm tới hạn: một ví dụ trọn vẹn
Điểm tới hạn của hàm hai biến là nơi cả hai đạo hàm riêng bằng 0 (mặt phẳng tiếp xúc nằm ngang). Để phân loại, dùng định thức D = fₓₓ·f_yy − (fₓ_y)². Lấy f(x, y) = x² + xy + y² − 3x và đi từng bước.
| Bước | Tính toán | Kết quả |
|---|---|---|
| Đạo hàm riêng bậc một | fₓ = 2x + y − 3; f_y = x + 2y | Hai phương trình |
| Giải hệ fₓ = 0, f_y = 0 | Từ phương trình hai, x = −2y; thay vào: −4y + y − 3 = 0 | y = −1, x = 2 |
| Đạo hàm bậc hai | fₓₓ = 2; f_yy = 2; fₓ_y = 1 | Hằng số |
| Định thức D | 2 × 2 − 1² | D = 3, dương |
| Phân loại | D dương và fₓₓ dương | Cực tiểu địa phương |
| Giá trị | f(2; −1) = 4 − 2 + 1 − 6 | −3 |
Quy tắc phân loại: D dương và fₓₓ dương là cực tiểu; D dương và fₓₓ âm là cực đại; D âm là điểm yên ngựa; D bằng 0 thì phép thử không kết luận. Hàm x² − y² tại gốc toạ độ có D = 2 × (−2) − 0 = −4, đúng là yên ngựa: không phải đỉnh, không phải đáy, dù mặt phẳng tiếp xúc nằm ngang.
Điểm yên ngựa là hiện tượng không có ở hàm một biến theo nghĩa này, và là lý do không thể chỉ dựa vào "đạo hàm bằng 0" để kết luận có cực trị. Trong không gian nhiều chiều, điểm yên ngựa còn phổ biến hơn cực trị thật.
Những chỗ trực giác của hàm một biến không còn đúng
Giới hạn phụ thuộc đường đi. Với hàm một biến chỉ có hai phía để tiến tới một điểm; với hàm hai biến có vô số đường. Hàm xy/(x² + y²) tiến tới 0 nếu đi dọc trục x, nhưng tiến tới 1/2 nếu đi dọc đường y = x. Hai đường cho hai giá trị khác nhau nên giới hạn tại gốc không tồn tại.
Có đạo hàm riêng chưa chắc liên tục. Vẫn hàm trên, nếu định nghĩa thêm giá trị 0 tại gốc, thì cả hai đạo hàm riêng tại gốc đều tồn tại và bằng 0 (vì hàm bằng 0 trên cả hai trục), nhưng hàm không liên tục tại đó. Ở một biến, có đạo hàm thì chắc liên tục; ở nhiều biến, đạo hàm riêng không đủ mạnh để kéo theo điều đó.
Điểm tới hạn không chỉ có đỉnh và đáy. Điểm yên ngựa, như đã thấy ở bảng trên, cho thấy mặt phẳng tiếp xúc nằm ngang không có nghĩa là đỉnh hay đáy. Khi số biến tăng, loại điểm này càng phổ biến.
Tích phân kép ở mức nhập môn
Tích phân kép của f trên một miền phẳng D là thể tích có dấu của khối nằm giữa mặt đồ thị và mặt phẳng toạ độ, trên miền đó. Ý tưởng giống tổng Riemann một biến: chia miền thành các ô nhỏ, nhân giá trị hàm với diện tích ô, cộng lại, rồi cho ô nhỏ dần.
Với miền hình chữ nhật và hàm đủ tốt, ta tính bằng tích phân lặp: tích phân theo một biến trước (coi biến kia là hằng), rồi tích phân kết quả theo biến còn lại. Ví dụ tích phân của xy trên hình chữ nhật x từ 0 đến 1, y từ 0 đến 2. Tích phân theo x trước: tích phân xy dx từ 0 đến 1 bằng y/2. Rồi tích phân y/2 dy từ 0 đến 2 bằng 1. Đổi thứ tự cũng ra 1; định lý Fubini bảo đảm điều này với hàm liên tục trên hình chữ nhật.
Với miền không phải hình chữ nhật, cận của tích phân trong phụ thuộc biến ngoài, và việc vẽ miền trước khi đặt cận là bước không được bỏ. Với miền hình tròn, đổi sang toạ độ cực thường đơn giản hơn nhiều; đó là cách tính được tích phân của e mũ (−x² − y²) trên toàn mặt phẳng bằng π, từ đó suy ra tích phân của e mũ (−x²) trên toàn trục số bằng căn π, một kết quả nền của xác suất thống kê.
Học hàm nhiều biến với công cụ và AI
Hàm nhiều biến khó hình dung hơn hẳn, nên công cụ trực quan và AI giúp được nhiều, miễn là bạn dùng chúng để thấy chứ không để chép.
- Với mỗi hàm mới, dùng phần mềm vẽ đồ thị ba chiều để xoay mặt và xem đường đồng mức trước khi tính.
- Tự tính đạo hàm riêng, gradient, điểm tới hạn trên giấy.
- Kiểm đạo hàm riêng bằng số: (f(x + 0,001; y) − f(x; y))/0,001 phải gần fₓ.
- Hỏi chatbot câu giải thích hình học thay vì câu tính: "Mô tả bằng lời hình dạng mặt z = x² − y² gần gốc toạ độ, và vì sao gốc không phải cực trị dù hai đạo hàm riêng bằng 0." So lời mô tả với hình phần mềm vẽ.
- Nhờ AI đưa ba hàm để bạn tự phân loại điểm tới hạn, rồi mới xem đáp án.
Kết hợp hình vẽ, phép tính tay và lời giải thích giúp bạn có ba cách nhìn cùng một khái niệm. Khi ba cách đó khớp nhau, bạn đã hiểu; khi chúng vênh, chỗ vênh chính là chỗ cần hỏi giảng viên.
Câu hỏi thường gặp
Hàm nhiều biến học ở môn nào?
Thường nằm ở học phần giải tích 2 hoặc toán cao cấp phần hai ở các trường kỹ thuật và kinh tế, sau khi đã học giải tích một biến. Tên học phần và nội dung chi tiết khác nhau giữa các trường, nên hãy đối chiếu đề cương của trường bạn.
Có đạo hàm riêng ở mọi hướng thì hàm có khả vi không?
Không nhất thiết. Có những hàm có đạo hàm riêng, thậm chí có đạo hàm theo mọi hướng tại một điểm, mà vẫn không khả vi, thậm chí không liên tục tại đó. Khả vi đòi hỏi hàm được xấp xỉ tốt bởi một mặt phẳng tiếp xúc, mạnh hơn việc có các đạo hàm riêng.
Ký hiệu ∂ khác d thế nào?
Ký hiệu ∂ dùng cho đạo hàm riêng, nhắc rằng hàm còn phụ thuộc biến khác đang được giữ cố định. Ký hiệu d dùng cho đạo hàm thông thường của hàm một biến, hoặc đạo hàm toàn phần khi mọi biến cùng phụ thuộc một tham số.
Tìm cực trị có ràng buộc thì làm thế nào?
Ví dụ tối đa f(x, y) với điều kiện g(x, y) = 0. Nếu rút được một biến từ ràng buộc thì đưa về một biến. Nếu không, dùng phương pháp nhân tử Lagrange: tại điểm tối ưu, gradient của f song song với gradient của g. Phương pháp này thường được dạy ngay sau phần cực trị tự do.
Vì sao học máy cần đạo hàm riêng?
Vì hàm mất mát của một mô hình phụ thuộc rất nhiều tham số, và muốn biết chỉnh tham số nào theo hướng nào thì cần đạo hàm riêng theo từng tham số, gộp lại thành gradient. Không cần tính tay, nhưng hiểu gradient giúp bạn hiểu vì sao thuật toán chạy hoặc không chạy.