Quy tắc đạo hàm hàm hợp nói rằng nếu y = f(u) và u = g(x) thì dy/dx = f′(u)·g′(x): đạo hàm của lớp ngoài, giữ nguyên lớp trong, rồi nhân với đạo hàm của lớp trong. Ví dụ (3x + 1)⁵ có đạo hàm 5(3x + 1)⁴ · 3 = 15(3x + 1)⁴. Thiếu thừa số 3 ở cuối là lỗi số một của sinh viên năm nhất.
Quy tắc này còn được gọi là quy tắc dây chuyền vì các tốc độ thay đổi nối với nhau thành chuỗi, và nó là quy tắc được dùng nhiều nhất trong toàn bộ phép tính vi phân. Bài này giải thích vì sao nó đúng bằng một hình ảnh dễ nhớ, chỉ cách bóc lớp cho biểu thức nhiều tầng, áp dụng cho đạo hàm ẩn, và đưa ra một phép kiểm bằng số để bạn tự chấm bài.
Vì sao lại nhân các đạo hàm với nhau
Hình dung ba bánh răng ăn khớp. Bánh A quay một vòng thì bánh B quay ba vòng; bánh B quay một vòng thì bánh C quay hai vòng. Vậy bánh A quay một vòng thì bánh C quay sáu vòng. Tỉ lệ cuối cùng là tích các tỉ lệ trung gian. Đạo hàm là tỉ lệ thay đổi, nên khi các đại lượng phụ thuộc nối tiếp nhau, tỉ lệ tổng là tích các tỉ lệ thành phần.
Một ví dụ đời thường: diện tích vết dầu loang hình tròn phụ thuộc bán kính theo công thức S = πr², nên dS/dr = 2πr. Giả sử bán kính tăng đều 0,5 mét mỗi phút (ví dụ giả định). Khi bán kính đang là 4 mét, diện tích tăng với tốc độ dS/dt = dS/dr · dr/dt = 2π × 4 × 0,5 = 4π, khoảng 12,6 mét vuông mỗi phút. Ta không cần biết công thức của S theo t; chỉ cần hai tỉ lệ thành phần.
Ký hiệu Leibniz làm quy tắc trông như phép rút gọn phân số: dy/dx = dy/du · du/dx. Cách viết này rất tiện để nhớ, nhưng dy, du, dx không phải là những con số chia cho nhau theo nghĩa thông thường. Chứng minh chặt chẽ cần xử lý trường hợp lớp trong có lúc không thay đổi (du bằng 0), và các giáo trình giải tích chuẩn đều có một chứng minh dài hơn vài dòng để tránh việc chia cho 0.
Cách bóc lớp cho biểu thức nhiều tầng
Với biểu thức lồng nhiều tầng, hãy làm như bóc củ hành: xác định lớp ngoài cùng, lấy đạo hàm lớp đó và giữ nguyên toàn bộ phần bên trong, rồi nhân với đạo hàm của phần bên trong, lặp lại cho tới lớp trong cùng.
- Viết biểu thức ra và gạch chân lớp ngoài cùng. Với sin(x²), lớp ngoài là sin, lớp trong là x².
- Đạo hàm lớp ngoài, giữ nguyên lớp trong: cos(x²).
- Nhân với đạo hàm lớp trong: 2x. Kết quả 2x·cos(x²).
- Với ba tầng như căn của (1 + sin²x), đi lần lượt: đạo hàm căn là 1/(2 căn của phần trong); phần trong là 1 + sin²x, đạo hàm bằng 2 sin x · cos x; nhân lại được sin x · cos x chia căn của (1 + sin²x).
- Viết lại kết quả cho gọn và đối chiếu miền xác định: ở ví dụ trên phần trong căn luôn dương nên không có điểm nào phải loại.
Mẹo trình bày: đặt tên cho lớp trong (u = x², hoặc u = 1 + sin²x) trong vài bài đầu. Khi đã quen, bạn sẽ bóc lớp trong đầu mà không cần đặt tên, nhưng với đề thi dài, đặt tên vẫn giúp giảm lỗi chép.
Bảng ví dụ tính đúng để tự luyện
Che cột giữa, tự tính, rồi so đáp án. Mỗi dòng có một chỗ dễ sai được ghi ở cột phải.
| Hàm số | Đạo hàm | Chỗ dễ sai |
|---|---|---|
| (3x + 1)⁵ | 15(3x + 1)⁴ | Quên nhân 3 |
| sin(x²) | 2x·cos(x²) | Viết thành cos(2x) hoặc quên 2x |
| sin²x | 2 sin x · cos x, tức sin 2x | Nhầm với sin(x²); đây là (sin x)² |
| e mũ (−x²) | −2x · e mũ (−x²) | Quên dấu trừ của lớp trong |
| căn của (1 + x²) | x chia căn của (1 + x²) | Quên đạo hàm 2x rồi rút gọn với 2 ở mẫu |
| ln(cos x) | −sin x / cos x, tức −tan x | Viết 1/cos x rồi dừng |
| cos³(2x) | −6 cos²(2x) · sin(2x) | Ba tầng: luỹ thừa, cos, 2x |
Dòng cuối là bài kiểm tra tốt nhất cho việc bóc lớp: lớp ngoài là luỹ thừa ba, cho 3cos²(2x); lớp giữa là cos, cho −sin(2x); lớp trong là 2x, cho 2. Nhân lại: 3 × (−1) × 2 = −6, kèm cos²(2x)·sin(2x).
Hai dòng sin(x²) và sin²x đặt cạnh nhau là cố ý. Cách viết sin²x là quy ước nghĩa là (sin x)², còn sin(x²) là sin của x bình phương. Đọc nhầm ký hiệu ở bước đầu thì mọi bước sau đều đúng mà kết quả vẫn sai.
Kết hợp quy tắc tích, thương và dây chuyền trong một bài
Đề thi hiếm khi cho một hàm chỉ cần đúng một quy tắc. Thường gặp hơn là một tích mà mỗi thừa số lại là hàm hợp, hoặc một thương có tử là hàm mũ lồng. Cách làm an toàn là xác định cấu trúc lớn nhất trước: biểu thức tổng thể là tích, thương hay hàm hợp? Áp quy tắc tương ứng ở tầng ngoài cùng, rồi mới xử lý từng mảnh bên trong, mỗi mảnh có thể cần quy tắc dây chuyền riêng.
Ví dụ thứ nhất: f(x) = x²·sin(3x). Tầng ngoài là tích, nên f′ = (x²)′·sin(3x) + x²·(sin(3x))′. Mảnh thứ hai cần quy tắc dây chuyền: (sin(3x))′ = 3cos(3x). Kết quả f′(x) = 2x·sin(3x) + 3x²·cos(3x). Ví dụ thứ hai: g(x) = e mũ 2x chia (1 + x²). Tầng ngoài là thương. Tử có đạo hàm 2e mũ 2x (dây chuyền), mẫu có đạo hàm 2x. Áp công thức thương rồi đặt nhân tử chung, được g′(x) = 2e mũ 2x nhân (x² − x + 1), chia (1 + x²)².
Ở ví dụ thứ hai, bước đặt nhân tử chung cho thấy một thông tin đáng giá: x² − x + 1 luôn dương (biệt thức âm), nên g′ luôn dương và g tăng trên toàn trục số. Rút gọn đạo hàm không chỉ để đẹp; dạng gọn thường cho bạn đọc được dấu, điểm tới hạn, và kiểm tra lại dễ hơn. Một thói quen tốt là sau khi rút gọn, thay x = 0 vào cả dạng chưa gọn và dạng đã gọn: ở đây cả hai đều cho 2, khớp nhau.
Đạo hàm ẩn: khi không rút được y theo x
Có những đường cong không viết được thành y = f(x) một cách gọn, như đường tròn x² + y² = 25. Ta vẫn tính được độ dốc tiếp tuyến bằng cách lấy đạo hàm hai vế theo x, coi y là hàm của x và áp quy tắc hàm hợp cho mọi số hạng chứa y. Đạo hàm của y² theo x là 2y·y′, chứ không phải 2y.
Với đường tròn trên: 2x + 2y·y′ = 0, suy ra y′ = −x/y. Tại điểm (3; 4) trên đường tròn, độ dốc tiếp tuyến là −3/4. Kiểm bằng hình học: bán kính nối tâm với (3; 4) có độ dốc 4/3, tiếp tuyến vuông góc với bán kính nên độ dốc là nghịch đảo đổi dấu, đúng bằng −3/4.
Kỹ thuật này cũng cho ta đạo hàm của các hàm ngược. Ví dụ y = ln x tương đương eʸ = x; lấy đạo hàm hai vế được eʸ·y′ = 1, nên y′ = 1/eʸ = 1/x. Tương tự với arcsin, arctan. Khi gặp công thức đạo hàm lạ trong bảng, thử tự suy lại bằng đạo hàm ẩn là cách hiểu sâu thay vì học thuộc.
Quy tắc dây chuyền ở những nơi bạn sẽ gặp lại
Bài toán tốc độ liên quan. Thang trượt tường, nước dâng trong bể hình nón, bóng người dài ra dưới đèn đường: mọi bài dạng này đều là viết một hệ thức giữa các đại lượng rồi lấy đạo hàm theo thời gian, mỗi số hạng một lần quy tắc dây chuyền.
Đổi biến trong tích phân. Phương pháp đổi biến khi tính tích phân chính là quy tắc dây chuyền đọc ngược. Nhận ra được dạng f′(g(x))·g′(x) trong biểu thức dưới dấu tích phân là kỹ năng then chốt của chương sau.
Hàm nhiều biến. Khi z phụ thuộc x và y, còn x, y cùng phụ thuộc t, thì dz/dt là tổng hai tích: đạo hàm riêng theo x nhân dx/dt cộng đạo hàm riêng theo y nhân dy/dt. Cùng tinh thần, chỉ thêm nhánh.
Đổi đơn vị và đổi biến số đo. Khi một đại lượng được đo theo phút còn công thức viết theo giây, hoặc nhiệt độ đổi từ độ C sang độ F, tốc độ thay đổi được nhân thêm hệ số chuyển đổi. Đó cũng là quy tắc dây chuyền với lớp trong là một hàm bậc nhất, và giải thích vì sao đạo hàm của f(ax + b) luôn là a nhân f′(ax + b).
Mạng nơ-ron. Thuật toán lan truyền ngược dùng để huấn luyện mạng nơ-ron về bản chất là quy tắc dây chuyền áp dụng có hệ thống qua nhiều lớp. Phần này được bàn trong danh mục toán đứng sau trí tuệ nhân tạo của trang; ở đây chỉ cần biết nền là cùng một quy tắc.
Tự kiểm bằng số và nhờ AI đúng cách
Đạo hàm hàm hợp là chỗ dễ sai nhưng cũng dễ kiểm nhất. Trước khi nộp bài hay hỏi ai, bạn tự làm phép kiểm này.
- Chọn một điểm đơn giản, ví dụ x = 0 cho (3x + 1)⁵. Kết quả của bạn cho 15 × 1⁴ = 15.
- Tính tỉ số sai phân trên máy tính: ((1,003)⁵ − 1)/0,001. Máy cho khoảng 15,09, gần 15. Nếu bạn quên nhân 3, đáp án của bạn là 5 và lệch hẳn.
- Lặp lại ở một điểm khác để chắc chắn không trùng hợp.
- Nếu lệch mà không tìm ra chỗ sai, gửi cho chatbot bài làm kèm câu lệnh: "Kiểm từng lớp trong phép đạo hàm hàm hợp này, liệt kê lớp ngoài, lớp giữa, lớp trong và đạo hàm từng lớp, rồi chỉ ra lớp nào mình làm sai."
- Tự sửa, làm thêm hai bài cùng dạng mà không nhờ AI.
Yêu cầu AI "liệt kê từng lớp" buộc nó trình bày theo cấu trúc bạn đang học, dễ đối chiếu hơn một lời giải liền mạch. Với các biểu thức rất dài, máy tính đại số đáng tin hơn chatbot ở phần biến đổi; chatbot hợp hơn ở phần giải thích vì sao.
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc dây chuyền có áp dụng cho hàm x mũ x không?
Không trực tiếp, vì cả cơ số và số mũ đều chứa x nên không phải luỹ thừa hay hàm mũ thông thường. Cách làm là viết x mũ x thành e mũ (x ln x) rồi áp quy tắc dây chuyền: đạo hàm bằng x mũ x nhân (ln x + 1), với x dương.
Có cần nhớ riêng quy tắc đạo hàm thương không?
Không bắt buộc. Thương u/v có thể viết thành u nhân v mũ −1 rồi dùng quy tắc tích và dây chuyền. Tuy vậy nhớ công thức thương giúp tiết kiệm thời gian và ít lỗi dấu hơn khi đi thi, nên đa số giảng viên khuyên thuộc cả hai cách.
Vì sao sách viết dy/dx mà lại bảo không phải phân số?
Trong giải tích chuẩn, dy/dx là một ký hiệu cho giới hạn, không phải thương của hai số. Nó hành xử giống phân số trong nhiều quy tắc nên rất tiện, nhưng có những chỗ coi như phân số sẽ sai, nhất là với đạo hàm riêng của hàm nhiều biến.
Làm sao biết đâu là lớp ngoài cùng?
Hỏi: nếu bạn tính giá trị biểu thức với một số x cụ thể bằng máy tính, phép toán nào bạn bấm cuối cùng? Phép đó là lớp ngoài. Với cos³(2x), bạn tính 2x, rồi cos, rồi mũ ba, nên mũ ba là lớp ngoài.
Đạo hàm ẩn có cho kết quả chứa cả y, như vậy có sai không?
Không sai, đó là đặc trưng của đạo hàm ẩn. Kết quả y′ = −x/y cho đường tròn đúng tại mọi điểm trên đường cong có y khác 0; muốn ra số thì thay toạ độ của điểm cụ thể. Tại y bằng 0 tiếp tuyến thẳng đứng nên y′ không xác định.