Để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm khả vi trên một đoạn, bạn tìm các điểm tới hạn (nơi đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại) bên trong đoạn, rồi so giá trị của hàm tại các điểm đó với giá trị tại hai đầu mút. Số lớn nhất trong danh sách là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất.
Phần tính đạo hàm thường không khó. Cái khó của bài toán tối ưu thực tế nằm ở hai khâu trước và sau: biến một câu chuyện bằng lời thành một hàm một biến với miền xác định đúng, và sau khi tính xong thì kiểm xem đáp số có hợp lý với tình huống không. Bài này đi qua quy trình đầy đủ với ba ví dụ tính đúng, chỉ ra các bẫy, và cách dùng AI để kiểm bước lập mô hình. Các bài toán tối ưu nhiều biến có ràng buộc tuyến tính, như lập kế hoạch sản xuất, thuộc danh mục toán ứng dụng của trang.
Vì sao đạo hàm bằng 0 ở đỉnh và đáy
Tại một điểm cực đại bên trong miền, nếu hàm khả vi, thì tiếp tuyến phải nằm ngang. Lý do trực quan: ngay bên trái đỉnh hàm đang đi lên, ngay bên phải đang đi xuống, nên độ dốc chuyển từ dương sang âm và tại đỉnh bằng 0. Phát biểu chính xác là định lý Fermat về cực trị: nếu f đạt cực trị địa phương tại điểm c bên trong khoảng và f khả vi tại c thì f′(c) = 0.
Chiều ngược lại không đúng, và đây là chỗ nhiều bạn mất điểm. Hàm x³ có đạo hàm 3x² bằng 0 tại x = 0, nhưng 0 không phải cực đại hay cực tiểu: hàm tăng ở cả hai phía. Vì vậy đạo hàm bằng 0 chỉ cho ta danh sách ứng viên, gọi là điểm tới hạn, và mỗi ứng viên phải được kiểm thêm.
Một loại ứng viên nữa hay bị quên là điểm mà đạo hàm không tồn tại. Hàm |x − 2| đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2, đúng tại chỗ gãy góc nơi không có đạo hàm. Nếu chỉ giải f′(x) = 0 bạn sẽ không tìm thấy điểm này. Cuối cùng, trên một đoạn đóng, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất hoàn toàn có thể nằm ở đầu mút, nơi đạo hàm không cần bằng 0.
Quy trình sáu bước cho bài toán tối ưu bằng lời
Quy trình dưới đây áp dụng được cho đa số bài tối ưu một biến trong giáo trình năm nhất. Viết ra đủ sáu bước trong bài thi cũng giúp người chấm cho điểm từng phần.
- Vẽ hình và đặt tên biến. Ghi rõ đơn vị. Chọn biến sao cho các đại lượng khác biểu diễn được qua nó.
- Viết đại lượng cần tối ưu. Lúc đầu có thể có hai biến, ví dụ diện tích bằng chiều dài nhân chiều rộng.
- Dùng ràng buộc để khử bớt biến. Chu vi cố định, thể tích cố định, vật liệu cố định… cho phép rút một biến theo biến kia, còn lại hàm một biến.
- Xác định miền. Độ dài phải dương, phần cắt không vượt quá tấm vật liệu. Miền sai là nguồn đáp số vô lý.
- Tìm điểm tới hạn và so sánh. Giải f′ bằng 0, thêm điểm f′ không tồn tại, thêm đầu mút nếu miền là đoạn đóng; tính f tại tất cả rồi so.
- Trả lời đúng câu hỏi. Đề hỏi kích thước hay hỏi diện tích? Ghi đơn vị và kiểm xem kết quả có hợp lý với hình vẽ.
Nếu miền là khoảng mở và chỉ có một điểm tới hạn, có thể dùng dấu đạo hàm bậc hai hoặc dấu đạo hàm hai bên để kết luận đó là cực đại hay cực tiểu toàn cục. Nhiều bài trong sách thuộc trường hợp này.
Ví dụ 1: chiếc hộp không nắp từ tấm tôn vuông
Một tấm tôn hình vuông cạnh 30 cm (ví dụ giả định). Cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh x cm rồi gập các mép lên thành hộp không nắp. Chọn x để thể tích lớn nhất. Đáy hộp là hình vuông cạnh 30 − 2x, chiều cao x, nên V(x) = x(30 − 2x)². Miền: x lớn hơn 0 và 30 − 2x lớn hơn 0, tức x nằm trong khoảng (0; 15).
Đạo hàm theo quy tắc tích: V′(x) = (30 − 2x)² + x · 2(30 − 2x)(−2) = (30 − 2x)[(30 − 2x) − 4x] = (30 − 2x)(30 − 6x). V′ bằng 0 khi x = 15 (nằm ngoài miền) hoặc x = 5. Với x giữa 0 và 5 thì cả hai thừa số dương, V tăng; với x giữa 5 và 15 thì thừa số thứ hai âm, V giảm. Vậy x = 5 cho thể tích lớn nhất, V(5) = 5 × 20² = 2000 cm³.
Kiểm tính hợp lý: cắt quá ít (x = 1) được hộp nông, V = 1 × 28² = 784; cắt quá nhiều (x = 10) được hộp cao mà đáy nhỏ, V = 10 × 10² = 1000. Cả hai đều nhỏ hơn 2000, phù hợp với kết luận. Tổng quát, với tấm vuông cạnh a, cạnh cắt tối ưu là a/6; bạn có thể tự chứng minh bằng cách lặp lại phép tính với a thay cho 30.
Ví dụ 2 và 3: hàng rào ven sông, giá bán cho doanh thu lớn nhất
Hàng rào: một trang trại ở Đồng Tháp có 100 mét lưới (ví dụ giả định), muốn rào một khu đất hình chữ nhật sát bờ kênh, cạnh giáp kênh không cần rào. Gọi x là chiều dài hai cạnh vuông góc với kênh, cạnh song song dài 100 − 2x. Diện tích A(x) = x(100 − 2x) = 100x − 2x², miền x thuộc khoảng (0; 50). A′(x) = 100 − 4x bằng 0 khi x = 25. A′′ = −4 âm nên đây là cực đại. Khu đất tối ưu 25 m × 50 m, diện tích 1250 m². Chú ý cạnh song song dài gấp đôi cạnh vuông góc, khác với trực giác "hình vuông là tốt nhất" vì một cạnh được miễn rào.
Doanh thu: giả sử một cửa hàng ước lượng số sản phẩm bán được mỗi tuần theo giá p (nghìn đồng) là q = 1000 − 20p (mô hình giả định, chỉ để minh hoạ). Doanh thu R(p) = p(1000 − 20p) = 1000p − 20p², miền p trong đoạn [0; 50] để q không âm. R′(p) = 1000 − 40p bằng 0 khi p = 25, cho q = 500 và R = 12 500 nghìn đồng. Tại hai đầu mút R bằng 0, nên p = 25 là giá trị lớn nhất.
Ví dụ doanh thu cần một lời nhắc: mô hình cầu tuyến tính chỉ là giả định để luyện kỹ thuật. Trong thực tế, cầu phụ thuộc nhiều yếu tố và tối đa doanh thu không đồng nghĩa với tối đa lợi nhuận, vì còn chi phí. Bài toán không nói gì về việc bạn nên đặt giá bao nhiêu cho sản phẩm thật.
Gần điểm tối ưu, hàm rất phẳng: điều này có ích gì
Quay lại chiếc hộp: cắt x = 4 cm cho thể tích 4 × 22² = 1936 cm³, cắt x = 6 cm cho 6 × 18² = 1944 cm³. Lệch khỏi điểm tối ưu tới 1 cm, tức 20 phần trăm, mà thể tích chỉ giảm khoảng 3 phần trăm. Đó không phải trùng hợp. Tại điểm tối ưu, đạo hàm bằng 0, nên theo xấp xỉ tuyến tính thì độ thay đổi bậc nhất của hàm bằng 0; phần còn lại tỉ lệ với bình phương độ lệch, và bình phương của một số nhỏ còn nhỏ hơn nhiều.
Hệ quả thực tế: khi làm việc với mô hình ngoài đời, bạn không cần đạt đúng điểm tối ưu đến từng li. Sai số đo đạc nhỏ quanh điểm tối ưu gây thiệt hại rất ít, trong khi sai lầm về mô hình (chọn sai hàm, sai miền) có thể đưa bạn tới một điểm hoàn toàn khác. Ngược lại, nếu đáp số tối ưu của bạn nằm ở đầu mút, hàm thường không phẳng ở đó, và một thay đổi nhỏ có thể tác động đáng kể. Đọc được hình dạng hàm quanh đáp số là bước mà người làm nghề luôn làm thêm sau khi giải xong.
Những bẫy hay gặp và cách tránh
Bảng dưới gom các lỗi xuất hiện thường xuyên trong bài làm phần tối ưu. Phần lớn không phải lỗi tính đạo hàm mà là lỗi lập luận.
| Bẫy | Ví dụ | Cách tránh |
|---|---|---|
| Quên kiểm đầu mút | Hàm x² trên đoạn [−1; 2] có giá trị lớn nhất 4 tại đầu mút x = 2, không phải tại điểm tới hạn x = 0 | Miền là đoạn đóng thì luôn liệt kê hai đầu mút vào danh sách ứng viên |
| Coi mọi điểm tới hạn là cực trị | x³ tại 0 | Xét dấu đạo hàm hai bên hoặc dùng đạo hàm bậc hai |
| Bỏ sót điểm không có đạo hàm | |x − 2| nhỏ nhất tại 2 | Ghi chú những chỗ có giá trị tuyệt đối, căn, hàm cho từng khúc |
| Miền xác định sai | Hộp với x bằng 15 cho thể tích 0, x lớn hơn 15 vô nghĩa | Viết miền ngay sau khi lập hàm, trước khi tính đạo hàm |
| Trả lời sai câu hỏi | Đề hỏi kích thước mà ghi thể tích | Gạch chân câu hỏi trong đề trước khi bắt đầu |
Phép kiểm "thử hai giá trị hai bên" như trong ví dụ chiếc hộp tốn chưa tới một phút mà bắt được hầu hết các bẫy trên. Nó cũng là thói quen tốt khi bạn làm việc với mô hình ngoài đời, nơi không có đáp án ở cuối sách.
Dùng AI để kiểm bước lập mô hình
Khâu dễ sai nhất là chuyển lời thành hàm, nên đó là khâu đáng nhờ AI soát nhất. Một quy trình gọn như sau.
- Tự lập hàm và miền trên giấy, chưa tính đạo hàm.
- Gửi cho chatbot đề bài và mô hình của bạn: "Đây là cách mình lập hàm và miền xác định cho bài này. Chỉ kiểm phần lập mô hình: biến có hợp lý không, ràng buộc dùng đúng chưa, miền có thiếu điều kiện nào không. Chưa tính đạo hàm."
- Nếu AI chỉ ra lỗi, tự sửa rồi mới đi tiếp.
- Tự tính đạo hàm, điểm tới hạn, so sánh giá trị.
- Kiểm kết quả bằng cách thử hai giá trị lân cận trên máy tính.
- Cuối cùng nhờ AI ra một bài tương tự đổi bối cảnh (ví dụ lon hình trụ tốn ít vật liệu nhất) để luyện lại.
Tách việc kiểm mô hình khỏi việc tính giúp bạn biết chính xác mình yếu ở khâu nào. Nếu tuần nào cũng sai ở khâu lập mô hình, việc cần luyện là đọc đề và vẽ hình, không phải thêm bài tính đạo hàm.
Câu hỏi thường gặp
Cực trị địa phương và giá trị lớn nhất toàn cục khác nhau thế nào?
Cực đại địa phương là điểm cao hơn mọi điểm lân cận, như một đỉnh đồi. Giá trị lớn nhất toàn cục là điểm cao nhất trên cả miền, như đỉnh núi cao nhất của dãy. Một hàm có thể có nhiều cực đại địa phương nhưng chỉ có một giá trị lớn nhất.
Khi nào được dùng đạo hàm bậc hai để kết luận?
Nếu f′(c) = 0 và f′′(c) âm thì c là cực đại địa phương, dương thì cực tiểu địa phương. Nếu f′′(c) = 0 thì phép thử không kết luận được, phải xét dấu đạo hàm bậc nhất. Muốn kết luận toàn cục cần thêm thông tin về miền hoặc số điểm tới hạn.
Hàm liên tục trên khoảng mở có luôn có giá trị lớn nhất không?
Không. Hàm x trên khoảng (0; 1) không đạt giá trị lớn nhất vì 1 không thuộc miền. Định lý bảo đảm sự tồn tại cần hàm liên tục trên đoạn đóng. Với khoảng mở, bạn phải lập luận thêm, ví dụ hàm tăng rồi giảm với đúng một điểm tới hạn.
Bài toán lon hình trụ tốn ít vật liệu nhất có kết quả gì?
Với thể tích cố định, lon có nắp và đáy làm cùng vật liệu tốn ít vật liệu nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy. Đây là bài luyện tốt: diện tích toàn phần 2πr² + 2πrh, rút h từ thể tích, lấy đạo hàm theo r. Lon thật ngoài đời thường cao hơn vì còn tính chi phí ghép mí, cầm nắm và đóng thùng.
Tối ưu một biến có liên quan gì tới cách máy học tìm tham số?
Cùng ý tưởng nền: tìm điểm mà đạo hàm bằng 0. Nhưng mô hình học máy có rất nhiều biến và hàm phức tạp, không giải được phương trình đạo hàm bằng 0 trực tiếp, nên phải đi từng bước theo hướng đạo hàm chỉ ra. Danh mục toán đứng sau trí tuệ nhân tạo của trang bàn kỹ phần này.
Có cần vẽ đồ thị khi giải bài tối ưu không?
Không bắt buộc nhưng rất nên, dù chỉ là phác tay. Đồ thị cho bạn biết hàm có một đỉnh hay nhiều đỉnh, đầu mút cao hay thấp, và giúp phát hiện ngay khi đáp số tính ra nằm ngoài vùng hợp lý.