Đạo hàm là gì: tốc độ thay đổi tức thời, độ dốc tiếp tuyến và cách tính từ định nghĩa

Đạo hàm của hàm f tại điểm a là tốc độ thay đổi tức thời của f tại đó, và về hình học là hệ số góc (độ dốc) của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ a. Nó được định nghĩa bằng giới hạn của tỉ số (f(a + h) − f(a))/h khi h tiến tới 0: lấy độ thay đổi của hàm chia cho độ thay đổi của biến, rồi thu nhỏ bước h tới mức "tức thời".

Nếu bạn từng nhìn đồng hồ tốc độ xe máy, bạn đã thấy đạo hàm: con số trên đồng hồ không phải quãng đường chia thời gian của cả chuyến đi, mà là tốc độ ngay lúc đó. Bài này giải thích ý nghĩa ấy bằng ví dụ tính tay, đưa ra bảng đạo hàm cần thuộc, cách dùng đạo hàm để xấp xỉ, những chỗ hàm không có đạo hàm, và cách nhờ AI kiểm phép tính của bạn.

Từ vận tốc trung bình đến vận tốc tức thời

Thả một hòn đá từ trên cao, bỏ qua sức cản không khí và lấy gia tốc trọng trường xấp xỉ 10 m/s². Quãng đường rơi sau t giây xấp xỉ s(t) = 5t² mét. Trong khoảng từ giây thứ 2 đến giây thứ 3, đá rơi thêm s(3) − s(2) = 45 − 20 = 25 mét, nên vận tốc trung bình là 25 m/s. Nhưng đá đang tăng tốc, nên con số đó không phải vận tốc tại đúng giây thứ 2.

Thu hẹp khoảng thời gian: từ 2 đến 2,1 giây, đá rơi 5 × 4,41 − 20 = 2,05 mét, vận tốc trung bình 20,5 m/s. Từ 2 đến 2,01 giây được 20,05 m/s. Tổng quát, với khoảng h giây sau mốc 2, ta có s(2 + h) − s(2) = 5(4 + 4h + h²) − 20 = 20h + 5h², chia cho h được 20 + 5h. Khi h tiến tới 0, con số này tiến tới 20. Vậy vận tốc tức thời tại giây thứ 2 là 20 m/s, và đó chính là đạo hàm s′(2).

Chú ý cấu trúc: ta không bao giờ chia cho 0. Ta chia cho h khác 0, rút gọn, rồi mới cho h tiến tới 0. Đây đúng là chỗ khái niệm giới hạn cứu giải tích khỏi mâu thuẫn mà các nhà toán học thế kỷ 17 và 18 bị phê phán. Làm lại phép tính trên với mốc t bất kỳ, bạn sẽ được s′(t) = 10t: vận tốc tăng đều theo thời gian, đúng với chuyển động rơi tự do.

Độ dốc của tiếp tuyến: cùng một phép tính, nhìn theo hình học

Vẽ đồ thị y = x² và lấy điểm P(3; 9). Nối P với một điểm Q gần đó trên đồ thị, ta được một cát tuyến. Khi Q trượt dần về P, cát tuyến xoay dần và tiến tới tiếp tuyến. Bảng dưới tính độ dốc cát tuyến với Q có hoành độ 3 + h.

Đại số cho kết quả gọn: (9 + 6h + h² − 9)/h = 6 + h, tiến tới 6. Vậy tiếp tuyến tại P có hệ số góc 6 và phương trình y = 9 + 6(x − 3), tức y = 6x − 9. Bạn có thể tự kiểm: thay x = 3 được 9, đúng là đi qua P.

Hai cách nhìn, vận tốc và độ dốc, là cùng một khái niệm. Newton tiếp cận đạo hàm từ chuyển động, Leibniz từ hình học và ký hiệu; hai người phát triển độc lập ở cuối thế kỷ 17 và từng có tranh chấp kéo dài về quyền ưu tiên. Ký hiệu dy/dx mà ta dùng ngày nay đến từ Leibniz, còn ký hiệu f′(x) phổ biến nhờ Lagrange về sau.

Bảng đạo hàm cơ bản cần thuộc

Tính từ định nghĩa giúp hiểu, nhưng trong thực hành bạn dùng bảng đạo hàm và các quy tắc. Mỗi dòng dưới đây đều có thể chứng minh bằng định nghĩa giới hạn; tự chứng minh hai ba dòng là bài luyện tốt.

Kèm theo là các quy tắc: đạo hàm của tổng là tổng các đạo hàm, hằng số nhân đưa ra ngoài, đạo hàm của tích (uv)′ = u′v + uv′, của thương (u/v)′ = (u′v − uv′)/v². Quy tắc hàm hợp cho các biểu thức lồng nhau như sin(x²) được bàn kỹ ở bài riêng trong danh mục này.

Xấp xỉ tuyến tính: đạo hàm dùng để ước lượng nhanh

Gần điểm tiếp xúc, tiếp tuyến bám rất sát đồ thị. Vì thế f(a + h) xấp xỉ f(a) + f′(a)·h khi h nhỏ. Đây là công cụ ước lượng mà kỹ sư dùng hằng ngày, và cũng là ý tưởng nền của nhiều thuật toán số.

Ví dụ tính tay: ước lượng căn bậc hai của 4,1. Lấy f(x) = căn x, a = 4, h = 0,1. Ta có f(4) = 2 và f′(x) = 1/(2 căn x), nên f′(4) = 1/4. Xấp xỉ: 2 + 0,1 × 1/4 = 2,025. Giá trị thật khoảng 2,02485, sai lệch chỉ khoảng một phần mười nghìn. Thử với h = 1 (căn của 5) thì xấp xỉ cho 2,25 trong khi thật là khoảng 2,236: sai lệch lớn hơn hẳn vì ta đã đi xa điểm tiếp xúc.

Bài học đi kèm: xấp xỉ tuyến tính tốt khi bước nhỏ và hàm không cong quá gắt. Muốn biết sai số cỡ nào, ta cần đạo hàm bậc hai (đo độ cong), và đi xa hơn nữa thì dùng đa thức Taylor bậc cao hơn. Trong vật lý, công thức con lắc đơn dao động điều hoà dựa trên xấp xỉ sin của góc nhỏ gần bằng chính góc đó, cũng là một xấp xỉ tuyến tính quanh 0.

Khi nào hàm không có đạo hàm

Điểm gãy góc. Hàm |x| tại 0: tỉ số |h|/h bằng 1 khi h dương và −1 khi h âm, hai phía không khớp nên không có đạo hàm. Đồ thị có hình chữ V, không có một tiếp tuyến duy nhất.

Tiếp tuyến thẳng đứng. Hàm căn bậc ba của x tại 0: tỉ số bằng 1 chia căn bậc ba của h², tăng vô hạn khi h tiến tới 0. Tiếp tuyến tồn tại nhưng thẳng đứng, hệ số góc không là số thực.

Điểm gián đoạn. Hàm không liên tục tại a thì chắc chắn không khả vi tại a. Chiều ngược lại không đúng: |x| liên tục tại 0 nhưng không khả vi. Khả vi là điều kiện mạnh hơn liên tục.

Hàm dao động quá mạnh. Có những hàm liên tục ở mọi nơi mà không khả vi ở bất cứ điểm nào; ví dụ nổi tiếng do Weierstrass đưa ra ở thế kỷ 19 đã gây ngạc nhiên lớn vì trái với trực giác rằng đường cong liền nét thì phải "trơn" ở đâu đó.

Đầu mút của miền xác định. Tại đầu mút của một đoạn, ta chỉ nói được đạo hàm một phía. Điều này quan trọng khi tìm giá trị lớn nhất trên đoạn: đầu mút luôn phải được kiểm riêng.

Đạo hàm là một hàm số mới: đọc đồ thị f′ từ đồ thị f

Khi tính đạo hàm tại mọi điểm thay vì một điểm, ta được một hàm mới f′. Kỹ năng đọc mối liên hệ giữa đồ thị f và đồ thị f′ được nhiều giáo trình đại học coi trọng hơn cả kỹ năng tính, vì nó cho thấy bạn hiểu đạo hàm là gì chứ không chỉ thuộc công thức. Quy tắc đọc rất ngắn: ở đâu đồ thị f đi lên thì f′ dương, đi xuống thì f′ âm, nằm ngang (đỉnh, đáy, hoặc điểm uốn nằm ngang) thì f′ bằng 0. Đồ thị f càng dốc thì giá trị tuyệt đối của f′ càng lớn.

Thử với f(x) = x³ − 3x. Đạo hàm f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), bằng 0 tại x = −1 và x = 1. Ngoài đoạn [−1; 1] thì f′ dương nên f tăng, trong đoạn đó f′ âm nên f giảm. Từ đó suy ra f có đỉnh tại x = −1 với f(−1) = 2 và có đáy tại x = 1 với f(1) = −2, mà không cần vẽ từng điểm. Đồ thị của f′ là một parabol mở lên, cắt trục hoành đúng tại −1 và 1.

Bài luyện hay: vẽ một đường cong bất kỳ bằng tay, rồi vẽ phác đồ thị đạo hàm bên dưới, đánh dấu chỗ f′ bằng 0. Sau đó làm ngược lại, từ đồ thị f′ dựng lại hình dạng f. Chiều ngược này chính là ý tưởng của nguyên hàm và tích phân, nên luyện sớm giúp bạn đỡ bỡ ngỡ ở chương sau. Bạn có thể nhờ chatbot mô tả bằng lời một hàm để bạn tự phác, rồi so với phần mềm vẽ đồ thị.

Nhờ AI kiểm phép tính đạo hàm của bạn

Đạo hàm là phần mà chatbot và máy tính đại số làm khá chắc, nên có thể dùng chúng làm người chấm. Thứ tự hợp lý như sau.

1. Tự tính đạo hàm trên giấy, ghi rõ quy tắc dùng ở từng bước (tích, thương, hàm hợp).
2. Gửi cho AI cả đề lẫn bài làm, kèm câu lệnh: "Đây là bài làm của mình. Đừng đưa lời giải mới. Chỉ ra dòng đầu tiên sai, nếu có, và giải thích vì sao sai."
3. Tự sửa dòng sai đó, không xem tiếp lời giải.
4. Kiểm bằng số: chọn một điểm, ví dụ x = 1, tính (f(1,001) − f(1))/0,001 trên máy tính và so với kết quả đạo hàm của bạn tại x = 1. Hai số gần nhau đến hai ba chữ số thập phân là dấu hiệu tốt.
5. Nếu AI và phép kiểm số cho kết quả khác nhau, tin phép kiểm số và hỏi lại AI. Chatbot đôi khi rút gọn sai một hệ số hoặc quên dấu trừ trong đạo hàm của cos.

Phép kiểm bằng số ở bước bốn là thói quen đáng giữ cả đời, vì nó không phụ thuộc vào ai đúng ai sai mà dựa thẳng vào định nghĩa. Nó cũng giúp bạn phát hiện lỗi của chính mình khi làm bài tập lớn mà không có ai chấm.

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm và vi phân khác nhau thế nào?

Đạo hàm f′(a) là một con số (hoặc một hàm theo a). Vi phân df = f′(x)dx là phần thay đổi tuyến tính của f ứng với độ thay đổi dx của biến. Trong giải tích một biến, hai khái niệm gắn chặt với nhau; sự phân biệt rõ hơn khi học hàm nhiều biến và phương trình vi phân.

Vì sao gọi là tốc độ thay đổi "tức thời" khi thời gian không dừng lại được?

Chữ tức thời ở đây nghĩa là giới hạn của tốc độ trung bình khi khoảng thời gian co về 0, không phải tốc độ trong một khoảng thời gian bằng 0. Đây chính là cách định nghĩa giới hạn tránh nghịch lý chia cho 0.

Đạo hàm bậc hai cho biết điều gì?

Đạo hàm bậc hai là đạo hàm của đạo hàm, đo tốc độ thay đổi của độ dốc. Với chuyển động, đó là gia tốc. Với đồ thị, f′′ dương nghĩa là đồ thị lõm lên (cong như cái bát), âm là lồi xuống. Nó dùng để phân loại cực đại, cực tiểu và ước lượng sai số xấp xỉ.

Học đạo hàm có cần hiểu giới hạn thật kỹ không?

Để tính đạo hàm của các hàm quen thuộc thì bảng đạo hàm và quy tắc là đủ. Nhưng để hiểu vì sao các quy tắc đúng, xử lý hàm cho từng khúc, hay chứng minh một hàm không khả vi, bạn cần nắm chắc định nghĩa bằng giới hạn.

Đạo hàm có ứng dụng gì ngoài vật lý?

Trong kinh tế, đạo hàm của chi phí theo sản lượng gọi là chi phí biên; trong sinh học, đạo hàm của số lượng quần thể theo thời gian là tốc độ tăng trưởng; trong học máy, đạo hàm của hàm mất mát chỉ hướng điều chỉnh tham số. Mọi nơi có câu hỏi "thay đổi nhanh đến đâu" đều có đạo hàm.

Có nên dùng máy tính cầm tay tính đạo hàm tại một điểm không?

Dùng để kiểm thì rất tốt, vì máy tính cho giá trị số đáng tin với hàm trơn. Nhưng bài thi thường yêu cầu công thức đạo hàm và lập luận, nên máy tính chỉ nên là bước kiểm lại sau khi bạn đã tự tính bằng tay.