Bảy bài toán thiên niên kỷ là danh sách do Viện Toán học Clay công bố năm 2000, treo giải thưởng một triệu đô la Mỹ cho lời giải mỗi bài; đến nay chỉ một bài đã được giải là giả thuyết Poincaré, do Grigori Perelman chứng minh. Sáu bài còn lại vẫn mở: P và NP, giả thuyết Riemann, giả thuyết Hodge, Yang – Mills và khe khối lượng, phương trình Navier – Stokes, và giả thuyết Birch – Swinnerton-Dyer.
Danh sách này cố ý gợi lại một danh sách khác cách đó một thế kỷ: năm 1900, David Hilbert nêu 23 bài toán tại Đại hội Toán học Quốc tế ở Paris, định hướng phần lớn toán học thế kỷ 20. Giả thuyết Riemann là bài duy nhất có mặt trong cả hai danh sách. Bài này giải thích mỗi bài hỏi điều gì ở mức người học đại học hiểu được, và vì sao chúng khó.
Hilbert năm 1900: một bài diễn thuyết định hướng cả thế kỷ
David Hilbert là một trong những nhà toán học có ảnh hưởng nhất đầu thế kỷ 20, gắn với Đại học Göttingen. Tại đại hội ở Paris tháng 8 năm 1900, ông trình bày mười bài toán trong bài nói, và bản in đầy đủ sau đó có 23 bài. Ý định của ông là chỉ ra những câu hỏi mà giải được sẽ mở ra phương pháp mới, chứ không chỉ là các câu đố khó.
Các bài trải khắp toán học: nền tảng của số học và lý thuyết tập hợp, lý thuyết số, hình học, phương trình vi phân, phép tính biến phân. Một số bài phát biểu rất chính xác và đã có câu trả lời dứt khoát; một số khác là chương trình nghiên cứu mơ hồ đến mức khó nói thế nào là "giải xong".
Tinh thần của Hilbert được gói trong câu nói nổi tiếng của ông trong một bài phát biểu năm 1930: "Chúng ta phải biết, chúng ta sẽ biết", sau này được khắc trên mộ ông. Trớ trêu là cũng ở Königsberg, trong chính những ngày ấy, Kurt Gödel lần đầu thông báo kết quả cho thấy có những điều trong số học không thể chứng minh được từ các tiên đề, một kết quả liên quan trực tiếp đến bài toán thứ hai trong danh sách.
Một số bài toán Hilbert và kết cục của chúng
Không cần nhớ cả 23 bài. Bảng dưới chọn những bài có câu trả lời rõ ràng hoặc ảnh hưởng lớn, đủ để bạn thấy hình dạng của thế kỷ 20.
| Bài | Nội dung tóm tắt | Kết cục |
|---|---|---|
| Thứ nhất | Giả thuyết continuum: có tập nào lớn hơn tập số tự nhiên nhưng nhỏ hơn tập số thực không | Gödel năm 1940 và Paul Cohen năm 1963 cho thấy nó không chứng minh được và cũng không bác bỏ được từ hệ tiên đề chuẩn của lý thuyết tập hợp |
| Thứ hai | Chứng minh số học là nhất quán | Định lý bất toàn thứ hai của Gödel năm 1931 cho thấy không thể làm theo cách Hilbert mong muốn |
| Thứ ba | Hai khối đa diện cùng thể tích có cắt ghép thành nhau được không | Max Dehn giải ngay sau năm 1900: không phải lúc nào cũng được |
| Thứ bảy | Tính siêu việt của một số luỹ thừa như 2 mũ căn 2 | Gelfond và Schneider chứng minh độc lập năm 1934 |
| Thứ tám | Giả thuyết Riemann và các bài về số nguyên tố | Vẫn mở |
| Thứ mười | Có thuật toán quyết định một phương trình Diophantine có nghiệm nguyên hay không | Matiyasevich năm 1970, dựa trên công trình của Davis, Putnam và Robinson: không có thuật toán như vậy |
| Thứ mười tám | Có phần liên quan đến cách xếp hình cầu dày đặc nhất | Thomas Hales công bố chứng minh giả thuyết Kepler năm 1998, sau đó hoàn tất kiểm chứng hình thức bằng máy |
Chú ý rằng ba trong số các kết cục trên là câu trả lời "không": không chứng minh được, không có thuật toán, không cắt ghép được. Một trong những bài học lớn của toán thế kỷ 20 là chứng minh rằng một việc là bất khả cũng có giá trị ngang chứng minh rằng nó làm được.
Bảy bài toán thiên niên kỷ nói bằng lời thường
P và NP. Có phải mọi bài toán mà lời giải kiểm tra nhanh được thì cũng tìm ra nhanh được không? Kiểm một bảng sudoku đã điền rất nhanh; tìm cách điền một bảng sudoku cỡ lớn thì có vẻ khó hơn nhiều. Phần lớn các nhà nghiên cứu tin P khác NP, nhưng chưa ai chứng minh được. Câu trả lời có hệ quả lớn cho mật mã học và tối ưu.
Giả thuyết Riemann. Hàm zeta Riemann có các nghiệm "không tầm thường", và giả thuyết nói tất cả đều nằm trên một đường thẳng trong mặt phẳng phức, có phần thực bằng 1/2. Vị trí các nghiệm này điều khiển độ đều của sự phân bố số nguyên tố. Hàng nghìn tỷ nghiệm đầu tiên đã được kiểm bằng máy và đều nằm đúng chỗ, nhưng vẫn chưa có chứng minh.
Giả thuyết Poincaré. Một vật thể ba chiều đóng, không có lỗ thủng theo nghĩa mọi vòng dây trên nó đều co được về một điểm, thì có phải về mặt tô pô là một mặt cầu ba chiều không? Đã được chứng minh.
Navier – Stokes. Các phương trình mô tả chất lỏng chuyển động, dùng hằng ngày trong kỹ thuật. Câu hỏi là trong ba chiều, nghiệm có luôn tồn tại và trơn mãi không, hay có thể "nổ" thành kỳ dị sau một thời gian hữu hạn.
Yang – Mills và khe khối lượng. Cần xây dựng chặt chẽ về mặt toán học một lý thuyết lượng tử mà vật lý dùng rất thành công, và chứng minh một tính chất mà thí nghiệm và mô phỏng cho thấy: các hạt tương ứng có khối lượng dương.
Birch – Swinnerton-Dyer. Liên hệ số điểm hữu tỉ trên một đường cong eliptic với hành vi của một hàm gắn với đường cong đó tại một điểm cụ thể. Giả thuyết đã được chứng minh trong một số trường hợp đặc biệt.
Giả thuyết Hodge. Một câu hỏi trong hình học đại số về việc những đối tượng tô pô nào trên một đa tạp có thể dựng từ các đối tượng đại số. Đây là bài khó diễn đạt nhất cho người ngoài ngành.
Giả thuyết Riemann: bài toán có mặt trong cả hai danh sách
Số nguyên tố trông như rải ngẫu nhiên: 2, 3, 5, 7, 11, 13, rồi có lúc cách nhau xa, có lúc sát nhau. Nhưng nhìn từ xa, chúng thưa dần theo một quy luật rất đều. Gauss khi còn trẻ đã nhận ra, qua việc đếm bảng số nguyên tố, rằng quanh một số lớn N, mật độ số nguyên tố xấp xỉ 1 chia logarit tự nhiên của N. Ví dụ, trong 100 số đầu tiên có 25 số nguyên tố, còn quanh một triệu thì cứ khoảng mười bốn số mới có một số nguyên tố.
Năm 1859, Bernhard Riemann viết một bài báo ngắn duy nhất về lý thuyết số, chỉ ra rằng việc đếm số nguyên tố gắn chặt với các nghiệm của hàm zeta khi mở rộng sang số phức. Ông nêu, như một nhận xét có vẻ đúng mà ông chưa chứng minh được, rằng các nghiệm quan trọng đều có phần thực bằng 1/2. Đó là giả thuyết Riemann.
Năm 1896, Jacques Hadamard và Charles-Jean de la Vallée Poussin độc lập chứng minh định lý số nguyên tố, xác nhận ước lượng của Gauss, bằng cách chỉ ra một phần yếu hơn nhiều của điều Riemann phỏng đoán. Giả thuyết đầy đủ sẽ cho biết sai số của ước lượng nhỏ đến mức nào, tốt nhất có thể. Hilbert đưa nó vào danh sách năm 1900, Viện Clay đưa vào lần nữa năm 2000; sau hơn một thế kỷ rưỡi, nó vẫn là bài toán mở nổi tiếng nhất của toán học.
Perelman và giả thuyết Poincaré: bài duy nhất đã được giải
Henri Poincaré nêu câu hỏi năm 1904. Trong hơn nửa thế kỷ sau, các nhà toán học giải được phiên bản cho số chiều cao hơn, năm chiều trở lên vào đầu thập niên 1960 với Stephen Smale và bốn chiều năm 1982 với Michael Freedman, nhưng ba chiều, trường hợp gần với không gian của chúng ta nhất, vẫn kháng cự.
Richard Hamilton đề xuất dùng dòng Ricci, một phương trình làm "là phẳng" dần độ cong của không gian giống như nhiệt lan toả làm đều nhiệt độ. Khó khăn là quá trình này có thể sinh ra kỳ dị. Trong các năm 2002 và 2003, Grigori Perelman đăng ba bản thảo lên kho lưu trữ trực tuyến arXiv, không qua tạp chí, chỉ ra cách kiểm soát các kỳ dị đó. Kết quả của ông chứng minh giả thuyết hình học hoá của Thurston, và giả thuyết Poincaré là một hệ quả.
Các nhóm chuyên gia mất vài năm để kiểm chứng và viết lại chi tiết các lập luận. Năm 2006, Perelman được trao huy chương Fields nhưng từ chối; năm 2010, Viện Clay trao giải thiên niên kỷ và ông cũng từ chối, với lý do theo các bài phỏng vấn được thuật lại là không đồng tình với cách ghi nhận đóng góp, trong đó có phần của Hamilton. Câu chuyện cho thấy giải thưởng và công nhận là chuyện của cộng đồng, còn chứng minh đúng là chuyện của toán học.
Khi gặp tin "AI đã giải bài toán thiên niên kỷ"
Thỉnh thoảng có những bản thảo, bài đăng mạng xã hội, hoặc cả những đoạn hội thoại với chatbot tuyên bố đã giải P và NP hay giả thuyết Riemann. Một cách đánh giá có hệ thống:
- Xem bản thảo có được đăng ở kênh mà chuyên gia đọc hay không, và chuyên gia trong đúng lĩnh vực đã lên tiếng chưa. Một lời giải thật cho bài toán lớn sẽ được cộng đồng mổ xẻ rất nhanh.
- Kiểm xem lời giải có dùng một ý tưởng mới không. Các bài này đã chống lại những phương pháp quen thuộc; một chứng minh chỉ ghép các kỹ thuật có sẵn gần như chắc có lỗi.
- Với P và NP, xem lời giải có vượt qua các rào cản đã biết không. Giới lý thuyết độ phức tạp đã chứng minh một số loại kỹ thuật không thể giải được bài này; người viết nghiêm túc sẽ giải thích vì sao lập luận của mình tránh được các rào cản đó.
- Đừng coi việc một chatbot "đồng ý" là bằng chứng. Mô hình ngôn ngữ có thể viết ra một văn bản trông như chứng minh, đủ thuật ngữ, mà sai ở bước then chốt. Kiểm chứng hình thức bằng phần mềm trợ lý chứng minh là chuẩn mạnh hơn nhiều, nhưng cũng cần chuyên gia xác nhận phát biểu được mã hoá đúng bài toán gốc.
- Chờ. Lịch sử cho thấy ngay cả chứng minh của chuyên gia hàng đầu, như Wiles năm 1993, cũng có thể lộ lỗ hổng trong quá trình thẩm định.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao giả thuyết Riemann quan trọng đến vậy?
Vì hàng trăm định lý trong lý thuyết số đã được chứng minh với điều kiện "nếu giả thuyết Riemann đúng". Một chứng minh sẽ biến tất cả thành định lý thật, và cho ta hiểu chính xác sai số trong cách ước lượng số lượng số nguyên tố nhỏ hơn một số cho trước.
Nếu ai đó chứng minh P bằng NP thì mật mã có sụp đổ ngay không?
Không nhất thiết ngay lập tức. Một chứng minh có thể không chỉ ra thuật toán cụ thể, hoặc thuật toán có thể nhanh về lý thuyết nhưng chậm trong thực tế vì hằng số lớn. Tuy vậy, nó sẽ làm lung lay giả thiết nền của nhiều hệ mật mã. Đa số chuyên gia tin P khác NP.
Danh sách Hilbert còn bao nhiêu bài chưa giải?
Không có con số thống nhất, vì một số bài phát biểu mơ hồ nên người ta tranh luận thế nào là đã giải. Một vài bài được coi là đã giải trọn, một số giải một phần, và một số như giả thuyết Riemann vẫn mở. Khi đọc một con số cụ thể, bạn nên xem tác giả dùng tiêu chí nào.
Giải thưởng của Viện Clay được trao theo điều kiện gì?
Theo quy định công bố của Viện, lời giải phải được đăng trên một tạp chí đủ uy tín và được cộng đồng chấp nhận sau một khoảng thời gian nhất định, rồi mới được hội đồng xem xét. Quy định chi tiết có thể đã được điều chỉnh, nên bạn nên đọc bản hiện hành trên trang chính thức của Viện.
Sinh viên có thể đóng góp gì cho những bài toán này không?
Trực tiếp giải là điều cực kỳ khó. Nhưng mỗi bài toán lớn kéo theo hàng trăm bài toán nhỏ hơn, các trường hợp đặc biệt, các kiểm chứng tính toán, và đó là nơi luận văn và nghiên cứu sinh thường bắt đầu. Hiểu bài toán lớn giúp bạn chọn hướng đi có ý nghĩa.
Có danh sách bài toán mở nào hợp với người mới học hơn không?
Có nhiều bài toán dễ phát biểu mà vẫn mở, như giả thuyết Goldbach về tổng hai số nguyên tố hay giả thuyết Collatz. Chúng hay để khơi gợi tò mò, nhưng cũng là nơi nhiều người mất rất nhiều thời gian vô ích. Tốt nhất là đọc về những gì đã biết trước khi tự thử.