Tích vô hướng của hai vector là tổng các tích toạ độ tương ứng, và nó bằng tích hai độ dài nhân với cos của góc giữa chúng; nhờ đó ta đo được góc, kiểm được vuông góc và tìm được hình chiếu. Hình chiếu vuông góc của một vector lên một đường thẳng hay một mặt phẳng là điểm gần nó nhất trên đó.
Phương pháp bình phương tối thiểu, dùng để khớp đường thẳng qua dữ liệu có sai số, thực chất là một phép chiếu vuông góc: khi hệ phương trình không có nghiệm, ta chiếu vế phải xuống không gian cột để có nghiệm gần đúng nhất. Bài này đi từ tích vô hướng tới hình chiếu, rồi làm trọn một ví dụ khớp đường thẳng qua bốn điểm, tính tay đúng tới từng số dư.
Tích vô hướng: một con số nói lên hai vector "cùng chiều" tới đâu
Với u = (3, 4) và v = (4, 3), tích vô hướng bằng 3·4 + 4·3 = 24. Độ dài mỗi vector đều bằng 5, nên cos của góc giữa chúng bằng 24 chia 25, tức 0,96: hai vector gần cùng hướng, góc nhỏ. Với u = (3, 4) và w = (−4, 3), tích vô hướng bằng −12 + 12 = 0, nên hai vector vuông góc. Với u và −u, tích vô hướng bằng −25, cos bằng −1, ngược hướng hoàn toàn.
Vì sao tổng các tích toạ độ lại liên quan tới cos? Hãy áp định lý cos cho tam giác dựng trên u, v và u − v: bình phương độ dài của u − v bằng tổng bình phương hai độ dài trừ hai lần tích độ dài nhân cos. Khai triển vế trái theo toạ độ, các bình phương tự triệt tiêu và chỉ còn lại hai lần tổng các tích toạ độ. So hai vế là ra công thức. Đây là một chứng minh ngắn đáng tự viết lại một lần.
Dấu của tích vô hướng là thông tin dùng được ngay: dương nghĩa là góc nhọn, bằng 0 nghĩa là vuông góc, âm nghĩa là góc tù. Trong vật lý, công của một lực bằng tích vô hướng của lực với độ dời; lực vuông góc với chuyển động không sinh công, đúng với trực giác về việc xách túi đi ngang trên mặt phẳng.
Hình chiếu lên một đường thẳng: tính tay và kiểm
Công thức. Hình chiếu của b lên đường thẳng theo hướng a bằng (a nhân vô hướng b, chia cho a nhân vô hướng a) nhân a. Phân số đó cho biết cần bao nhiêu lần vector a để tới điểm gần b nhất.
Ví dụ. Chiếu b = (2, 3) lên hướng a = (1, 1). Tích a·b = 2 + 3 = 5; tích a·a = 2. Hình chiếu bằng 5/2 nhân (1, 1), tức (2,5; 2,5).
Phần dư vuông góc. Hiệu b trừ hình chiếu bằng (2 − 2,5; 3 − 2,5) = (−0,5; 0,5). Tích vô hướng với a: −0,5 + 0,5 = 0. Phần dư vuông góc với đường thẳng, đúng như định nghĩa hình chiếu vuông góc.
Vì sao là điểm gần nhất. Mọi điểm khác trên đường thẳng cách b một khoảng mà bình phương bằng bình phương phần dư cộng bình phương đoạn lệch dọc theo đường thẳng, theo định lý Pythagore. Lệch bao nhiêu cũng chỉ làm khoảng cách lớn thêm, nên hình chiếu là điểm gần nhất.
Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng. Độ dài phần dư, ở đây là căn của 0,25 + 0,25, tức căn 0,5, xấp xỉ 0,707, chính là khoảng cách từ điểm (2, 3) tới đường thẳng y = x.
Khi hệ phương trình vô nghiệm: ý tưởng bình phương tối thiểu
Giả sử bạn đo được bốn cặp số và tin rằng chúng gần nằm trên một đường thẳng y = c + mx. Mỗi điểm cho một phương trình, có bốn phương trình mà chỉ hai ẩn c và m. Do sai số đo, gần như chắc chắn không có đường thẳng nào đi qua đủ bốn điểm, tức hệ vô nghiệm. Nói theo ngôn ngữ ma trận: vector y của các giá trị đo không nằm trong không gian cột của ma trận A, có một cột toàn số 1 và một cột các giá trị x.
Bình phương tối thiểu chọn c và m sao cho tổng bình phương các độ lệch theo chiều đứng nhỏ nhất. Đây chính là bình phương khoảng cách từ vector y tới vector A nhân (c, m). Điểm gần y nhất trong không gian cột là hình chiếu vuông góc của y, và điều kiện vuông góc của phần dư với mọi cột của A cho ta hệ phương trình chuẩn: A chuyển vị nhân A nhân nghiệm bằng A chuyển vị nhân y.
Phương pháp này được Legendre công bố năm 1805; Gauss cho biết ông đã dùng từ trước đó, và cuộc tranh cãi về quyền ưu tiên giữa hai người là một chuyện nổi tiếng trong lịch sử toán học. Gauss cũng là người gắn phương pháp với giả định sai số phân phối chuẩn, mở đường cho thống kê hiện đại.
Ví dụ: khớp đường thẳng qua bốn điểm
Ví dụ giả định với bốn điểm có x lần lượt 0, 1, 2, 3 và y lần lượt 1, 3, 4, 6. Tìm đường thẳng y = c + mx khớp nhất theo bình phương tối thiểu.
- Tính các tổng cần cho hệ phương trình chuẩn: số điểm 4; tổng x = 6; tổng x bình phương = 0 + 1 + 4 + 9 = 14; tổng y = 14; tổng x nhân y = 0 + 3 + 8 + 18 = 29.
- Viết hệ phương trình chuẩn: 4c + 6m = 14 và 6c + 14m = 29.
- Từ phương trình đầu, c = 3,5 − 1,5m. Thay vào phương trình sau: 21 − 9m + 14m = 29, nên 5m = 8 và m = 1,6.
- Suy ra c = 3,5 − 2,4 = 1,1. Đường thẳng khớp nhất là y = 1,1 + 1,6x.
- Tính giá trị dự đoán tại bốn điểm: 1,1; 2,7; 4,3; 5,9. Phần dư bằng y thật trừ dự đoán: −0,1; 0,3; −0,3; 0,1.
- Kiểm điều kiện vuông góc: tổng phần dư bằng −0,1 + 0,3 − 0,3 + 0,1 = 0, tức vuông góc với cột toàn số 1; tổng phần dư nhân x bằng 0 + 0,3 − 0,6 + 0,3 = 0, tức vuông góc với cột x. Cả hai đúng, nghiệm chính xác.
Hai phép kiểm cuối là cách tốt nhất để biết bạn đã giải đúng mà không cần phần mềm. Tổng bình phương phần dư là 0,01 + 0,09 + 0,09 + 0,01 = 0,2; bất kỳ đường thẳng nào khác cũng cho tổng lớn hơn.
Gram–Schmidt: dựng hệ vuông góc bằng cách trừ hình chiếu
Khi đã biết chiếu, bạn có thể biến một nhóm vector độc lập bất kỳ thành một nhóm vuông góc từng đôi sinh ra cùng không gian. Quy trình Gram–Schmidt làm đúng việc đó: giữ nguyên vector đầu tiên; với mỗi vector tiếp theo, trừ đi hình chiếu của nó lên tất cả các vector đã dựng trước, phần còn lại tự động vuông góc với chúng.
Ví dụ trong ba chiều với u1 = (1, 1, 0) và u2 = (1, 0, 1). Giữ q1 = (1, 1, 0). Tích u2·q1 = 1, tích q1·q1 = 2, nên hình chiếu của u2 lên q1 là một nửa nhân (1, 1, 0), tức (0,5; 0,5; 0). Trừ đi được q2 = (0,5; −0,5; 1). Kiểm: q1·q2 = 0,5 − 0,5 + 0 = 0, đúng là vuông góc. Muốn có cơ sở trực chuẩn thì chia mỗi vector cho độ dài của nó: căn 2 với q1 và căn 1,5 với q2.
Trên giấy, quy trình này gọn và dễ hiểu. Trên máy, phiên bản cổ điển lại dễ tích luỹ sai số làm các vector mất dần tính vuông góc, nên thư viện tính toán thường dùng biến thể đã cải tiến hoặc phép phản xạ Householder. Đây lại là một ví dụ cho khoảng cách giữa công thức đúng và cách tính tốt.
Từ hình chiếu tới các công cụ thường gặp
Cùng ý tưởng chiếu vuông góc xuất hiện dưới nhiều tên gọi ở các môn khác nhau. Bảng dưới nối chúng lại để bạn nhận ra khi gặp.
| Tên gọi | Ở môn nào | Thực chất là gì |
|---|---|---|
| Hồi quy tuyến tính | Thống kê, kinh tế lượng | Chiếu vector kết quả lên không gian cột của các biến giải thích |
| Quá trình Gram–Schmidt | Đại số tuyến tính | Lần lượt trừ đi hình chiếu lên các vector trước để có hệ vuông góc |
| Phân tích QR | Giải tích số | Gram–Schmidt viết dưới dạng ma trận, dùng để giải bình phương tối thiểu ổn định hơn |
| Chuỗi Fourier | Giải tích, xử lý tín hiệu | Chiếu một hàm lên các hàm sin, cos vuông góc với nhau |
| Độ tương đồng cosin | Tìm kiếm thông tin, học máy | Cos của góc giữa hai vector, bỏ qua độ dài |
Dòng Chuỗi Fourier cho thấy tích vô hướng mở rộng được cho hàm số, bằng tích phân của tích hai hàm. Khi đã quen ý "chiếu lên các hướng vuông góc", bạn sẽ thấy nhiều kỹ thuật tưởng xa lạ thật ra là cùng một bài toán.
Dùng AI và phần mềm khi học phần này
Phần này có nhiều phép tính với số thập phân, rất dễ sai một chữ số. Cách phân việc hợp lý giữa bạn, phần mềm và chatbot:
- Tự tính tay một ví dụ khớp đường thẳng qua ba, bốn điểm số đẹp, có làm hai phép kiểm vuông góc.
- Dùng bảng tính hoặc thư viện để khớp bộ dữ liệu lớn và so hệ số với kết quả tay ở ví dụ nhỏ.
- Hỏi chatbot vì sao điều kiện "phần dư vuông góc với mọi cột" lại tương đương với tổng bình phương nhỏ nhất, và yêu cầu nó hỏi lại bạn một câu để kiểm.
- Khi AI đưa hệ số hồi quy, tự kiểm tổng phần dư bằng 0 nếu mô hình có hệ số tự do; không bằng 0 là có lỗi.
- Nếu dữ liệu là số liệu thật của nơi làm việc, chỉ đưa vào công cụ được phép dùng và che thông tin nhận diện; phân tích nghiệp vụ chi tiết thuộc phạm vi các trang chuyên về dữ liệu.
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng và tích có hướng khác nhau thế nào?
Tích vô hướng cho ra một số, định nghĩa trong mọi số chiều, đo mức cùng hướng. Tích có hướng chỉ định nghĩa trong ba chiều, cho ra một vector vuông góc với cả hai vector ban đầu, có độ dài bằng diện tích hình bình hành dựng trên chúng. Hai phép dùng cho hai mục đích khác nhau.
Vì sao bình phương tối thiểu dùng bình phương chứ không dùng trị tuyệt đối?
Bình phương làm bài toán trở thành phép chiếu, có nghiệm đóng giải bằng hệ tuyến tính, và khớp với giả định sai số phân phối chuẩn. Trị tuyệt đối cho phương pháp bền hơn với điểm ngoại lai nhưng phải giải bằng quy hoạch tuyến tính hoặc lặp. Mỗi lựa chọn hợp với một loại dữ liệu.
Có nên giải phương trình chuẩn trực tiếp trên máy không?
Với bài nhỏ thì được. Với dữ liệu lớn hoặc các biến gần phụ thuộc, nhân A chuyển vị với A làm số điều kiện tăng lên theo bình phương, mất độ chính xác. Thư viện thường dùng phân tích QR hoặc phân tích giá trị kỳ dị để giải bình phương tối thiểu ổn định hơn.
Đường thẳng khớp nhất có đi qua điểm trung bình không?
Có, khi mô hình có hệ số tự do. Với ví dụ trên, x trung bình là 1,5, y trung bình là 3,5, và 1,1 + 1,6 nhân 1,5 đúng bằng 3,5. Tính chất này đến từ việc tổng phần dư bằng 0 và là một cách kiểm nhanh khác.
Hai vector vuông góc thì có độc lập tuyến tính không?
Nếu cả hai đều khác vector không thì có. Tổng quát hơn, một nhóm vector khác không, vuông góc từng đôi, luôn độc lập tuyến tính. Đây là lý do cơ sở trực giao được ưa chuộng: toạ độ theo cơ sở đó tính bằng tích vô hướng, không cần giải hệ.