Vector riêng của một ma trận vuông là vector khác không mà khi nhân với ma trận, nó chỉ bị co giãn chứ không bị đổi hướng; hệ số co giãn đó là trị riêng. Viết bằng ký hiệu: A nhân v bằng lambda nhân v, với v khác vector không. Nếu lambda bằng 3, vector bị kéo dài gấp ba; bằng 1, đứng yên; bằng −1, lật ngược; bằng 0, bị ép về gốc.
Phần lớn sinh viên học trị riêng như một quy trình: lập định thức, giải phương trình bậc hai, thay vào tìm vector. Quy trình đó cần, nhưng nếu thiếu hình ảnh thì sẽ không hiểu vì sao trị riêng xuất hiện khắp nơi, từ dao động cơ học tới xếp hạng trang web. Bài này dựng trực giác trước, rồi làm hai ví dụ 2×2 tính tay, rồi tới một ứng dụng đủ gần đời sống.
Trực giác: hướng không bị xoay
Hãy hình dung một phép biến đổi mặt phẳng tác động lên mọi vector cùng lúc. Phần lớn các vector bị vừa xoay vừa co giãn. Nhưng với nhiều phép biến đổi, có vài hướng đặc biệt mà vector nằm trên đó chỉ bị kéo dài hoặc thu ngắn, vẫn nằm trên đường thẳng cũ. Những hướng đó là các hướng riêng của phép biến đổi.
Ví dụ dễ thấy nhất: phép kéo giãn theo trục hoành gấp 2 lần, trục tung giữ nguyên, ứng với ma trận đường chéo gồm hàng (2, 0) và (0, 1). Vector (1, 0) thành (2, 0), cùng hướng, gấp đôi; trị riêng 2. Vector (0, 1) đứng yên; trị riêng 1. Một vector chéo như (1, 1) thành (2, 1), bị xoay lệch, nên không phải vector riêng.
Còn phép xoay 90 độ thì sao? Mọi vector khác không đều bị xoay đi, nên không có hướng riêng nào trong mặt phẳng thực. Về đại số, phương trình đặc trưng của nó là lambda bình phương cộng 1 bằng 0, không có nghiệm thực. Trị riêng của nó là các số phức i và −i, và đây là một trong những chỗ số phức xuất hiện tự nhiên trong đại số tuyến tính.
Cách tìm trị riêng và vector riêng của ma trận 2×2
Lấy ma trận A gồm hàng (4, 1) và hàng (2, 3). Quy trình gồm hai pha: tìm trị riêng trước, rồi với mỗi trị riêng tìm vector riêng.
- Viết điều kiện: A nhân v bằng lambda nhân v, tương đương (A − lambda I) nhân v bằng 0. Muốn có v khác 0 thì ma trận A − lambda I phải suy biến, tức định thức bằng 0.
- Lập phương trình đặc trưng: (4 − lambda)(3 − lambda) − 1·2 = 0. Khai triển: lambda bình phương − 7 lambda + 12 − 2 = lambda bình phương − 7 lambda + 10 = 0.
- Giải: (lambda − 2)(lambda − 5) = 0, nên hai trị riêng là 2 và 5.
- Với lambda = 5: A − 5I gồm hàng (−1, 1) và (2, −2). Phương trình −x + y = 0 cho y = x, chọn v = (1, 1). Kiểm: A nhân (1, 1) = (4 + 1, 2 + 3) = (5, 5) = 5·(1, 1).
- Với lambda = 2: A − 2I gồm hàng (2, 1) và (2, 1). Phương trình 2x + y = 0 cho y = −2x, chọn v = (1, −2). Kiểm: A nhân (1, −2) = (4 − 2, 2 − 6) = (2, −4) = 2·(1, −2).
- Kiểm chéo hai điều luôn đúng: tổng trị riêng bằng vết, 2 + 5 = 7 = 4 + 3; tích trị riêng bằng định thức, 2·5 = 10 = 4·3 − 1·2.
Bước kiểm cuối là thói quen rất đáng giữ. Nếu tổng hoặc tích không khớp, bạn biết ngay đã sai ở phương trình đặc trưng mà không cần dò lại từng dòng. Lưu ý vector riêng không duy nhất: mọi bội khác không của (1, 1), như (2, 2) hay (−3, −3), đều là vector riêng ứng với trị riêng 5.
Ví dụ thứ hai: ma trận đối xứng và hai hướng vuông góc
Đề bài. Ma trận B gồm hàng (2, 1) và (1, 2). Phương trình đặc trưng là (2 − lambda) bình phương − 1 = 0, nên 2 − lambda bằng 1 hoặc −1, cho lambda = 1 hoặc lambda = 3.
Hai vector riêng. Với lambda = 3, vector (1, 1): B nhân (1, 1) = (3, 3). Với lambda = 1, vector (1, −1): B nhân (1, −1) = (2 − 1, 1 − 2) = (1, −1).
Điều đặc biệt. Hai vector (1, 1) và (1, −1) vuông góc với nhau, vì tích vô hướng 1 − 1 = 0. Đây không phải tình cờ: định lý phổ nói rằng mọi ma trận đối xứng thực đều có trị riêng thực và có một bộ vector riêng vuông góc từng đôi.
Hình ảnh. Phép biến đổi B kéo giãn mặt phẳng gấp 3 lần dọc theo đường chéo y = x và giữ nguyên dọc theo đường y = −x. Một đường tròn đơn vị sau phép biến đổi thành một hình elip có trục dài nằm trên đường chéo. Ma trận đối xứng xuất hiện rất nhiều trong thống kê, ví dụ ma trận hiệp phương sai, nên tính chất này được dùng thường xuyên.
Chéo hoá: vì sao trị riêng làm luỹ thừa ma trận trở nên dễ
Nếu ma trận n×n có đủ n vector riêng độc lập, ta có thể viết A bằng P nhân D nhân P nghịch đảo, trong đó các cột của P là vector riêng và D là ma trận đường chéo chứa trị riêng. Lợi ích lớn nhất là tính luỹ thừa: A mũ k bằng P nhân D mũ k nhân P nghịch đảo, mà luỹ thừa của ma trận đường chéo chỉ là luỹ thừa từng số trên đường chéo.
Ý nghĩa đằng sau là đổi hệ toạ độ. Trong hệ toạ độ dựng trên các vector riêng, phép biến đổi phức tạp trở thành những phép kéo giãn độc lập dọc theo từng trục. Nhiều bài toán trong vật lý, kỹ thuật và kinh tế được giải bằng đúng mẹo này: tìm hệ toạ độ mà ở đó các thành phần không còn ảnh hưởng chéo lên nhau.
Không phải ma trận nào cũng chéo hoá được. Ma trận gồm hàng (1, 1) và (0, 1), một phép trượt, chỉ có trị riêng 1 lặp hai lần nhưng chỉ có một hướng riêng là trục hoành. Những trường hợp như vậy được xử lý bằng dạng chuẩn Jordan, nằm ở phần nâng cao của môn học.
Một ví dụ bất ngờ: dãy Fibonacci và tỉ lệ vàng
Dãy Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13… có quy luật mỗi số bằng tổng hai số trước. Viết cặp hai số liên tiếp thành vector, bước sang cặp kế tiếp chính là nhân với ma trận F gồm hàng (1, 1) và (1, 0): F nhân (8, 5) bằng (8 + 5, 8) = (13, 8). Như vậy số Fibonacci thứ n nằm trong F mũ n, và đây là chỗ trị riêng phát huy tác dụng.
Phương trình đặc trưng của F là (1 − lambda)(0 − lambda) − 1 = 0, tức lambda bình phương − lambda − 1 = 0. Hai nghiệm là (1 + căn 5) / 2, xấp xỉ 1,618, chính là tỉ lệ vàng, và (1 − căn 5) / 2, xấp xỉ −0,618. Vì trị riêng thứ hai có trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, phần đóng góp của nó teo dần khi n lớn, chỉ còn trị riêng lớn nhất chi phối. Hệ quả: tỉ số hai số Fibonacci liên tiếp tiến về 1,618. Thử với 13 chia 8 bằng 1,625 và 21 chia 13 xấp xỉ 1,615, đã khá sát.
Chéo hoá F còn cho công thức đóng tính thẳng số Fibonacci thứ n, gọi là công thức Binet. Bài học chung vượt khỏi ví dụ này: với một quá trình lặp tuyến tính, trị riêng có trị tuyệt đối lớn nhất quyết định dáng vẻ lâu dài của nó, tăng trưởng nếu lớn hơn 1 và tắt dần nếu nhỏ hơn 1.
Ứng dụng gần đời sống: trạng thái dừng của một quá trình chuyển đổi
Ví dụ giả định: dân cư của một vùng chia hai nhóm, sống ở thành thị và nông thôn. Mỗi năm, 10% người ở thành thị chuyển về nông thôn và 20% người ở nông thôn chuyển ra thành thị; phần còn lại ở yên. Ma trận chuyển gồm hàng (0,9; 0,2) và hàng (0,1; 0,8), mỗi cột cộng lại bằng 1.
| Câu hỏi | Phép tính | Kết quả |
|---|---|---|
| Trị riêng lớn nhất | Ma trận có cột cộng bằng 1 luôn có trị riêng 1 | lambda = 1 |
| Trị riêng còn lại | Vết trừ 1: 0,9 + 0,8 − 1 | lambda = 0,7 |
| Vector riêng ứng với 1 | Giải −0,1x + 0,2y = 0, được x = 2y | v = (2, 1) |
| Kiểm | Ma trận nhân (2, 1) = (1,8 + 0,2; 0,2 + 0,8) | (2, 1), đứng yên |
| Trạng thái dừng | Chuẩn hoá cho tổng bằng 1 | Hai phần ba thành thị, một phần ba nông thôn |
Vì trị riêng còn lại là 0,7 nhỏ hơn 1, phần lệch khỏi trạng thái dừng co lại 0,7 lần mỗi năm, nên dù bắt đầu ở đâu, tỉ lệ dân cư cũng tiến dần về hai phần ba và một phần ba. Đây là ví dụ giả định để minh hoạ cơ chế, không phải số liệu thật của địa phương nào. Cùng ý tưởng này nằm sau thuật toán xếp hạng trang web PageRank công bố cuối thập niên 1990.
Học trị riêng với AI: câu hỏi nên đặt và chỗ cần kiểm
Chatbot giải thích trị riêng khá trơn tru, nhưng phép tính phương trình đặc trưng hay vector riêng thì vẫn cần kiểm. Gợi ý cách dùng:
- Hỏi về hình ảnh trước: "Mô tả bằng lời một phép biến đổi mặt phẳng có trị riêng 2 và 0,5 trên hai hướng vuông góc; một hình vuông sẽ biến thành gì?"
- Nhờ AI ra ma trận 2×2 có trị riêng nguyên để tự luyện, yêu cầu không kèm lời giải; tự tìm rồi kiểm bằng vết và định thức.
- Khi AI đưa vector riêng, nhân thử ma trận với vector đó. Đây là phép kiểm mất mười giây và bắt được gần như mọi lỗi.
- Đừng hoảng khi đáp án của AI là (2, 2) còn của bạn là (1, 1): bội của vector riêng vẫn là vector riêng.
- Với ma trận lớn hơn 3×3, dùng thư viện tính toán để lấy trị riêng; chatbot không phải công cụ tính số đáng tin cho việc này.
Câu hỏi thường gặp
Một ma trận n×n có bao nhiêu trị riêng?
Tính cả số phức và đếm cả bội, đúng n trị riêng, vì phương trình đặc trưng là đa thức bậc n. Trong số thực có thể ít hơn hoặc không có trị riêng nào, như phép xoay 90 độ. Các trị riêng có thể trùng nhau, khi đó số vector riêng độc lập có thể ít hơn số lần lặp.
Trị riêng bằng 0 có ý nghĩa gì?
Có một hướng khác không bị ma trận ép về vector không, nghĩa là ma trận suy biến, định thức bằng 0 và không có nghịch đảo. Các vector riêng ứng với trị riêng 0 chính là không gian nghiệm của hệ thuần nhất A nhân x bằng 0.
Vì sao gọi là eigen trong tiếng Anh?
Eigen là từ tiếng Đức, nghĩa là riêng, của chính nó. Thuật ngữ được dùng trong toán học Đức đầu thế kỷ XX, gắn với các công trình của David Hilbert về phương trình tích phân, rồi đi vào tiếng Anh dưới dạng ghép eigenvalue và eigenvector. Tiếng Việt dịch là trị riêng, vector riêng.
Có cách tính trị riêng không cần giải phương trình đặc trưng không?
Có, và với ma trận lớn người ta luôn làm vậy. Phương pháp luỹ thừa nhân ma trận liên tục với một vector để tìm trị riêng lớn nhất. Thuật toán QR là phương pháp chuẩn để tìm toàn bộ trị riêng trong các thư viện tính toán. Giải đa thức đặc trưng bậc cao rất nhạy với sai số nên không dùng.
Trị riêng có liên quan tới phân tích thành phần chính không?
Có. Phân tích thành phần chính tìm các hướng mà dữ liệu biến động nhiều nhất, và đó là vector riêng của ma trận hiệp phương sai, xếp theo trị riêng từ lớn tới nhỏ. Phần ứng dụng trong học máy được bàn ở danh mục toán đứng sau trí tuệ nhân tạo của trang.