Giá trị hiện tại của một khoản tiền nhận trong tương lai là số tiền mà nếu có hôm nay và đem sinh lời với một tỉ lệ cho trước, đến thời điểm đó sẽ bằng đúng khoản tiền kia. Công thức gốc chỉ có một dòng: giá trị hiện tại bằng giá trị tương lai chia cho (1 cộng r) mũ n, trong đó r là tỉ lệ chiết khấu mỗi kỳ và n là số kỳ. Từ dòng đó dựng lên toàn bộ phép so sánh dự án, định giá khoản vay và đánh giá phương án trong tài chính.
Bài này giải thích ý tưởng chiết khấu, tính tay ba ví dụ: chọn giữa hai khoản tiền ở hai thời điểm, giá trị hiện tại ròng của một dòng tiền nhiều năm, tỉ suất hoàn vốn nội bộ, rồi bàn về lạm phát và cách chọn tỉ lệ chiết khấu. Đây là bài toán học, mọi con số là ví dụ giả định; bài không đưa ra lời khuyên đầu tư nào.
Vì sao một triệu hôm nay khác một triệu năm sau
Có ba lý do khiến tiền nhận hôm nay có giá trị hơn cùng số tiền nhận sau. Thứ nhất, tiền có hôm nay có thể đem sinh lời, ví dụ gửi tiết kiệm, nên sau một năm thành nhiều hơn. Thứ hai, giá cả thường tăng theo thời gian, nên cùng một số tiền về sau mua được ít hàng hơn. Thứ ba, khoản tiền hứa trả trong tương lai có rủi ro không được trả.
Tỉ lệ chiết khấu r gói cả ba yếu tố đó vào một con số. Nếu r bằng 6% một năm, thì 100 triệu hôm nay tương đương 106 triệu sau một năm, và 106 triệu sau một năm tương đương 100 triệu hôm nay. Chiều thứ nhất gọi là tích luỹ (lãi kép), chiều thứ hai gọi là chiết khấu. Hai phép là nghịch đảo của nhau: nhân với (1 cộng r) mũ n để đi tới tương lai, chia cho (1 cộng r) mũ n để quay về hiện tại.
Điều quan trọng nhất cần nắm: giá trị hiện tại không phải một sự thật khách quan mà phụ thuộc vào r bạn chọn. Hai người với hai mức r khác nhau sẽ định giá cùng một khoản tiền tương lai khác nhau, và cả hai có thể đều hợp lý với hoàn cảnh của mình.
Ví dụ một: nhận 100 triệu bây giờ hay 120 triệu sau ba năm
Ví dụ giả định: bạn được chọn giữa nhận 100 triệu đồng hôm nay hoặc 120 triệu đồng sau đúng ba năm. Với tỉ lệ chiết khấu 6% một năm, (1,06) mũ 3 bằng 1,191016, nên giá trị hiện tại của 120 triệu là 120 chia 1,191016, khoảng 100,75 triệu. Con số này lớn hơn 100 triệu một chút, nên theo mức 6%, khoản sau ba năm nhỉnh hơn.
Với tỉ lệ 7%, (1,07) mũ 3 bằng 1,225043, giá trị hiện tại là 120 chia 1,225043, khoảng 97,96 triệu, nhỏ hơn 100 triệu. Kết luận đảo ngược chỉ vì r tăng một điểm phần trăm.
Có một mức r làm hai phương án ngang nhau: (1 cộng r) mũ 3 bằng 1,2, tức r bằng căn bậc ba của 1,2 trừ 1, khoảng 6,27% một năm. Kiểm lại: 1,0627 bình phương bằng khoảng 1,1293, nhân tiếp 1,0627 được khoảng 1,2001. Con số hoà vốn này hữu ích hơn mọi phép tính ở một mức r cố định: nếu bạn tin cơ hội sinh lời khác của mình vượt khoảng 6,27% một năm, nhận tiền hôm nay; nếu không, khoản sau ba năm lợi hơn, với điều kiện chắc chắn được trả.
Lưu ý về cách làm tròn: giữ ít nhất bốn năm chữ số trong hệ số (1 cộng r) mũ n, chỉ làm tròn kết quả cuối. Làm tròn sớm ở bước giữa là nguồn sai số hay gặp khi tính tay và cả khi chatbot tính.
Ví dụ hai: giá trị hiện tại ròng của một dòng tiền
Giá trị hiện tại ròng (NPV) là tổng giá trị hiện tại của mọi khoản thu, trừ đi các khoản chi, cùng quy về hôm nay. Ví dụ giả định: một phương án cần bỏ ra 50 triệu đồng hôm nay, thu về 20 triệu cuối mỗi năm trong ba năm. Tỉ lệ chiết khấu 8%.
| Năm | Dòng tiền (triệu) | Hệ số chiết khấu 1/(1,08) mũ n | Giá trị hiện tại (triệu) |
|---|---|---|---|
| 0 | âm 50 | 1 | âm 50 |
| 1 | 20 | khoảng 0,9259 | khoảng 18,52 |
| 2 | 20 | khoảng 0,8573 | khoảng 17,15 |
| 3 | 20 | khoảng 0,7938 | khoảng 15,88 |
| Cộng | 10 | khoảng 1,54 |
Nếu cộng thẳng không chiết khấu, phương án lãi 10 triệu. Sau khi chiết khấu ở 8%, NPV chỉ còn khoảng 1,54 triệu, vẫn dương. NPV dương có nghĩa là, với giả định tỉ lệ 8% phản ánh đúng chi phí cơ hội và rủi ro, phương án tạo ra nhiều hơn mức sinh lời đòi hỏi.
Ở tỉ lệ 10%, ba khoản thu quy về khoảng 18,18, 16,53 và 15,03 triệu, tổng khoảng 49,74 triệu, NPV âm khoảng 0,26 triệu. Một lần nữa kết luận phụ thuộc vào r, và đó là lý do người lập phương án luôn trình bày NPV ở vài mức r khác nhau.
Ví dụ ba: tỉ suất hoàn vốn nội bộ
Tỉ suất hoàn vốn nội bộ (IRR) là mức r làm NPV bằng đúng 0. Với ví dụ hai, NPV dương ở 8% và âm ở 10%, nên IRR nằm giữa. Thử 9,7%: (1,097) mũ 1, mũ 2, mũ 3 lần lượt khoảng 1,097, 1,2034 và 1,3201; ba khoản thu quy về khoảng 18,23, 16,62 và 15,15 triệu, tổng khoảng 50,00 triệu. Vậy IRR khoảng 9,7% một năm.
Không có công thức đóng cho IRR với dòng tiền tổng quát; phải thử dần hoặc dùng phương pháp số, đó là việc bảng tính làm bằng hàm có sẵn. Tính tay bằng cách chia đôi khoảng như trên là cách tốt để hiểu hàm đó đang làm gì.
IRR dễ hiểu vì là một con số phần trăm, nhưng có những cái bẫy đã được các giáo trình tài chính nêu rõ. Dòng tiền đổi dấu nhiều lần (chi, thu, rồi lại chi lớn ở cuối) có thể có nhiều IRR hoặc không có IRR. So hai phương án quy mô khác nhau, phương án IRR cao hơn chưa chắc là phương án có NPV lớn hơn. Vì vậy IRR nên đi kèm NPV, không thay thế NPV.
Chiết khấu trong những quyết định hằng ngày
Nhiều lựa chọn quen thuộc thực chất là bài toán chiết khấu dù không ai gọi tên như vậy. Ví dụ giả định: chủ nhà cho thuê với giá 10 triệu đồng mỗi tháng, trả đầu tháng, hoặc trả trước một lần cả năm được giảm 5%, tức 114 triệu. Câu hỏi toán học là khoản giảm 6 triệu đó tương đương lãi suất bao nhiêu cho số tiền bạn ứng trước.
Đặt i là lãi suất mỗi tháng. Trả hằng tháng có giá trị hiện tại bằng 10 nhân tổng của (1 cộng i) mũ âm k, với k chạy từ 0 đến 11, vì khoản đầu trả ngay hôm nay. Cho tổng đó bằng 114 và thử dần: ở i bằng 1% tổng là khoảng 113,7 triệu, ở 0,9% là khoảng 114,3 triệu. Nghiệm nằm quanh 0,95% một tháng, tương đương khoảng 12% một năm khi ghép lãi theo tháng.
Diễn giải: trả trước cả năm giống như cho chủ nhà vay tiền với lãi khoảng 12% một năm, trả bằng khoản giảm giá. Lợi hay không tuỳ bạn có cách dùng số tiền đó sinh lời hơn mức này không, có cần giữ tiền mặt dự phòng không, và có rủi ro phải dọn đi giữa chừng không. Phép tính không quyết định thay bạn, nhưng biến một câu "giảm 5% nghe hấp dẫn" thành một con số so sánh được. Cách làm tương tự áp dụng cho trả trước phí dịch vụ, mua bảo hành dài hạn hay chọn giữa giá trả ngay và giá trả chậm.
Lạm phát, lãi danh nghĩa và lãi thực
Danh nghĩa và thực. Lãi suất công bố là lãi danh nghĩa, tính bằng tiền. Lãi thực là mức tăng sức mua. Quan hệ chính xác (phương trình Fisher): 1 cộng lãi thực bằng (1 cộng lãi danh nghĩa) chia (1 cộng lạm phát).
Ví dụ. Với lãi danh nghĩa 6% và lạm phát 4% một năm (ví dụ giả định), lãi thực bằng 1,06 chia 1,04 trừ 1, khoảng 1,92%. Cách trừ thẳng 6 trừ 4 bằng 2% là xấp xỉ, sai số nhỏ khi các mức thấp nhưng lớn dần khi lạm phát cao.
Giữ nhất quán giữa dòng tiền và tỉ lệ. Nếu dòng tiền tính bằng tiền danh nghĩa (đã gồm tăng giá), chiết khấu bằng tỉ lệ danh nghĩa. Nếu dòng tiền tính theo giá cố định của hôm nay, chiết khấu bằng tỉ lệ thực. Trộn hai loại là lỗi phổ biến làm NPV lệch đáng kể.
Kỳ tính lãi. Lãi 12% một năm ghép lãi hằng tháng không giống 12% ghép lãi hằng năm: (1,01) mũ 12 bằng khoảng 1,1268, tức lãi hiệu dụng khoảng 12,68% một năm. Luôn đổi về cùng kỳ trước khi so sánh.
Dùng AI kiểm phép tính, và giới hạn của bài toán
Chatbot giải thích khái niệm chiết khấu rất tốt, nhưng phép luỹ thừa và phép chia nhiều chữ số là chỗ nó hay sai nhẹ. Câu lệnh mẫu: "Tính NPV của dòng tiền sau với tỉ lệ 8% một năm, trình bày bảng hệ số chiết khấu từng năm với bốn chữ số thập phân, rồi tính lại ở 10% và ước lượng IRR bằng cách thử dần." Sau đó dựng cùng bảng trong bảng tính, dùng hàm NPV và IRR có sẵn, và so từng dòng. Lưu ý hàm NPV của nhiều bảng tính mặc định coi khoản đầu tiên ở cuối năm thứ nhất, nên khoản chi ở năm 0 phải cộng riêng; đây là lỗi kinh điển.
Khi tính cho tình huống thật của gia đình hay doanh nghiệp, đừng đưa số tài khoản, tên ngân hàng, hợp đồng cụ thể vào chatbot; con số làm tròn là đủ để tính.
Cuối cùng, toán chỉ trả lời được câu hỏi "với giả định này thì kết quả là gì". Dự báo dòng tiền tương lai, chọn tỉ lệ chiết khấu phù hợp với rủi ro, đánh giá khả năng bên kia trả tiền là những việc nằm ngoài phép tính. Bài này không nhằm khuyên chọn phương án đầu tư hay tài chính nào; khi quyết định có số tiền lớn, nên hỏi người có chuyên môn và đọc kỹ điều khoản thật.
Câu hỏi thường gặp
Giá trị hiện tại và lãi kép khác nhau thế nào?
Hai phép là nghịch đảo của nhau. Lãi kép đưa tiền hôm nay tới tương lai bằng cách nhân với (1 cộng r) mũ n. Giá trị hiện tại đưa tiền tương lai về hôm nay bằng cách chia cho cùng hệ số đó.
Nên chọn tỉ lệ chiết khấu bao nhiêu?
Không có con số đúng cho mọi người. Tỉ lệ chiết khấu phản ánh chi phí cơ hội, lạm phát và rủi ro của khoản tiền đang xét. Cách thận trọng là tính ở vài mức khác nhau và tìm mức hoà vốn để thấy kết luận nhạy đến đâu.
NPV dương có nghĩa là nên làm ngay không?
NPV dương chỉ nói rằng với giả định đã dùng, phương án sinh lời hơn mức đòi hỏi. Nếu dự báo dòng tiền hoặc tỉ lệ chiết khấu sai, kết luận sẽ đổi. Bài này là bài toán học, không phải lời khuyên đầu tư.
Vì sao IRR có thể có nhiều giá trị?
Khi dòng tiền đổi dấu nhiều lần, phương trình NPV bằng 0 là đa thức có thể có nhiều nghiệm dương. Khi đó IRR mất ý nghĩa rõ ràng, nên dùng NPV ở các mức chiết khấu cụ thể thay thế.
Tính NPV bằng bảng tính hay gặp lỗi gì?
Lỗi hay gặp nhất là đưa cả khoản chi năm 0 vào hàm NPV, khiến khoản đó bị chiết khấu thêm một kỳ. Lỗi khác là trộn dòng tiền danh nghĩa với tỉ lệ thực, hoặc dùng lãi theo năm cho dòng tiền theo tháng.
Có nên nhờ chatbot quyết định nhận tiền ngay hay nhận sau?
Chatbot giúp tính và giải thích, nhưng không biết hoàn cảnh, nhu cầu tiền mặt và mức rủi ro bạn chấp nhận. Hãy dùng nó để có các con số ở nhiều mức r, còn quyết định là của bạn, nếu số tiền lớn thì nên hỏi thêm người có chuyên môn.