Định thức của một ma trận vuông là con số cho biết phép biến đổi tuyến tính ứng với ma trận đó phóng to diện tích (trong mặt phẳng) hay thể tích (trong không gian) lên bao nhiêu lần, và dấu của nó cho biết phép biến đổi có lật ngược chiều hay không. Định thức bằng 0 nghĩa là phép biến đổi ép cả mặt phẳng xuống một đường thẳng hoặc một điểm, và khi đó ma trận không có nghịch đảo.
Nhiều giáo trình đưa định thức ra như một công thức để học thuộc, khiến sinh viên tính được mà không biết mình đang tính gì. Bài này đi theo hướng ngược lại: hiểu ý nghĩa diện tích trước, rồi mới tới cách tính 2×2, 3×3, các tính chất hay dùng và những lỗi phổ biến.
Ý nghĩa hình học: hệ số phóng diện tích
Một ma trận 2×2 đưa vector (1, 0) tới cột thứ nhất và vector (0, 1) tới cột thứ hai. Hình vuông đơn vị dựng trên hai vector cơ sở, diện tích bằng 1, vì thế bị biến thành hình bình hành dựng trên hai cột. Diện tích của hình bình hành đó, kèm dấu, chính là định thức.
Lấy ma trận có cột (3, 1) và cột (1, 2), tức hàng (3, 1) và hàng (1, 2). Định thức bằng 3·2 − 1·1 = 5. Nghĩa là mọi hình trong mặt phẳng, dù là tam giác hay hình tròn, sau phép biến đổi này đều có diện tích gấp 5 lần ban đầu. Điều đáng ngạc nhiên là con số này không phụ thuộc vào hình dạng, chỉ phụ thuộc vào ma trận; đó là vì phép biến đổi tuyến tính biến lưới ô vuông đều thành lưới hình bình hành đều.
Bây giờ lấy cột (2, 1) và cột (4, 2). Định thức bằng 2·2 − 4·1 = 0. Hai cột cùng phương, hình bình hành bẹp thành một đoạn thẳng, diện tích bằng 0. Mọi điểm trong mặt phẳng bị ép xuống một đường thẳng, nhiều điểm khác nhau rơi vào cùng một chỗ, nên không có cách nào đi ngược lại. Đây là lý do định thức bằng 0 tương đương với ma trận không khả nghịch.
Dấu của định thức: khi nào âm và âm nghĩa là gì
Dương: giữ nguyên chiều. Nếu đi từ cột thứ nhất sang cột thứ hai theo chiều ngược kim đồng hồ, giống như đi từ (1, 0) sang (0, 1), thì định thức dương. Phép xoay mọi góc có định thức đúng bằng 1: không đổi diện tích, không lật.
Âm: lật mặt phẳng. Ma trận đối xứng qua trục hoành gồm hàng (1, 0) và hàng (0, −1) có định thức −1. Diện tích giữ nguyên nhưng mặt phẳng bị lật như soi gương; một chữ viết sau phép biến đổi sẽ bị ngược.
Bằng không: mất một chiều. Như ví dụ ở trên, phép biến đổi ép mặt phẳng thành đường thẳng. Trong ba chiều, định thức 0 nghĩa là không gian bị ép xuống một mặt phẳng, một đường thẳng hoặc một điểm.
Trị tuyệt đối mới là diện tích. Khi cần diện tích thật của tam giác hay hình bình hành, lấy trị tuyệt đối của định thức. Diện tích tam giác có ba đỉnh cho trước bằng một nửa trị tuyệt đối của định thức dựng trên hai cạnh xuất phát từ cùng một đỉnh.
Cách tính định thức 2×2 và 3×3 bằng tay
Công thức 2×2: ma trận gồm hàng (a, b) và hàng (c, d) có định thức ad − bc. Với 3×3, có hai cách phổ biến. Dưới đây làm cả hai trên cùng ma trận có ba hàng (2, 0, 1), (1, 3, 2), (1, 1, 2) để bạn so kết quả.
- Khai triển theo hàng thứ nhất: lấy từng phần tử của hàng nhân với định thức 2×2 còn lại sau khi xoá hàng và cột chứa nó, dấu xen kẽ cộng, trừ, cộng.
- Phần tử 2: xoá hàng 1, cột 1 còn hàng (3, 2) và (1, 2), định thức 3·2 − 2·1 = 4. Đóng góp 2·4 = 8.
- Phần tử 0: đóng góp bằng 0 dù định thức con bằng bao nhiêu, nên bỏ qua. Đây là lý do nên khai triển theo hàng hoặc cột có nhiều số 0.
- Phần tử 1: xoá hàng 1, cột 3 còn hàng (1, 3) và (1, 1), định thức 1·1 − 3·1 = −2. Dấu ở vị trí này là cộng, đóng góp 1·(−2) = −2.
- Cộng lại: 8 + 0 − 2 = 6.
- Kiểm bằng quy tắc Sarrus, chỉ dùng cho 3×3: ba tích theo đường chéo xuống là 2·3·2 = 12, 0·2·1 = 0, 1·1·1 = 1, tổng 13; ba tích theo đường chéo lên là 1·3·1 = 3, 2·2·1 = 4, 0·1·2 = 0, tổng 7. Định thức bằng 13 − 7 = 6. Hai cách cho cùng kết quả.
Quy tắc Sarrus tiện cho 3×3 nhưng không mở rộng được lên 4×4; nhiều sinh viên áp nhầm và ra kết quả sai. Với ma trận từ 4×4 trở lên, hãy khử Gauss về dạng tam giác rồi nhân các phần tử trên đường chéo.
Các tính chất của định thức nên nhớ
Thay vì học thuộc danh sách, hãy gắn mỗi tính chất với ý nghĩa diện tích. Bảng dưới đặt hai thứ cạnh nhau.
| Tính chất | Phát biểu | Giải thích bằng diện tích |
|---|---|---|
| Tích | det(AB) = det(A)·det(B) | Phóng diện tích 2 lần rồi 3 lần thì tổng cộng là 6 lần |
| Nghịch đảo | det(A nghịch đảo) = 1 / det(A) | Đi ngược lại phải thu nhỏ đúng bằng bao nhiêu đã phóng |
| Chuyển vị | det(A chuyển vị) = det(A) | Ít trực quan hơn; chứng minh bằng công thức hoán vị |
| Đổi hai hàng | Định thức đổi dấu | Đổi thứ tự hai cạnh là đổi chiều quay |
| Nhân một hàng với k | Định thức nhân với k | Kéo giãn một cạnh k lần |
| Nhân cả ma trận n×n với k | Định thức nhân với k mũ n | Mỗi chiều đều bị kéo giãn k lần |
| Ma trận tam giác | Định thức bằng tích đường chéo | Phép trượt không làm đổi diện tích |
Dòng "nhân cả ma trận với k" là nơi sai nhiều nhất: det(2A) của ma trận 3×3 bằng 8 lần det(A), không phải 2 lần. Còn det(A + B) thì nói chung không bằng det(A) + det(B), và không có công thức gọn nào cho nó.
Định thức và hệ phương trình: quy tắc Cramer trên một ví dụ 2×2
Quy tắc Cramer cho công thức nghiệm của hệ vuông có định thức khác 0: mỗi ẩn bằng một phân số, mẫu là định thức của ma trận hệ số, tử là định thức của ma trận có được khi thay cột của ẩn đó bằng cột vế phải. Nó được Gabriel Cramer công bố năm 1750 và là một trong những lý do định thức được nghiên cứu sớm.
Ví dụ: 3x + y = 5 và x + 2y = 5. Ma trận hệ số gồm hàng (3, 1) và (1, 2), định thức bằng 5 như đã tính ở trên. Thay cột thứ nhất bằng vế phải được hàng (5, 1) và (5, 2), định thức 10 − 5 = 5, nên x = 5 / 5 = 1. Thay cột thứ hai bằng vế phải được hàng (3, 5) và (1, 5), định thức 15 − 5 = 10, nên y = 10 / 5 = 2. Kiểm: 3 + 2 = 5 và 1 + 4 = 5.
Ý nghĩa hình học của quy tắc này khá đẹp: thay một cột bằng vế phải là đo xem vế phải "chiếm" bao nhiêu diện tích theo hướng của các cột còn lại. Tuy vậy, với hệ từ bốn ẩn trở lên, số phép tính của Cramer tăng rất nhanh so với khử Gauss, nên trong thực hành nó chủ yếu dùng cho hệ hai, ba ẩn và trong chứng minh lý thuyết.
Những hiểu lầm hay gặp về định thức
Các nhầm lẫn dưới đây xuất hiện cả trong bài làm của sinh viên lẫn trong câu trả lời của chatbot, nên đáng biết để tự đối chiếu.
- Định thức bằng 0 nghĩa là ma trận toàn số 0. Sai. Ma trận có hàng (2, 4) và hàng (1, 2) đầy số khác 0 nhưng định thức vẫn bằng 0, vì hai hàng tỉ lệ với nhau.
- Định thức của tổng bằng tổng định thức. Sai. Lấy A và B đều là ma trận đơn vị 2×2: mỗi cái có định thức 1, nhưng A + B có định thức 4, không phải 2.
- Đổi chỗ hai cột thì định thức giữ nguyên. Sai, đổi hai cột cũng làm đổi dấu như đổi hai hàng, vì định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận gốc.
- Cộng một hàng vào hàng khác làm định thức tăng. Sai. Cộng bội của một hàng vào hàng khác là phép trượt, giữ nguyên diện tích, nên định thức không đổi. Đây chính là phép dùng nhiều nhất khi khử Gauss.
- Định thức âm là "diện tích âm" vô nghĩa. Dấu âm mang thông tin thật về hướng: phép biến đổi đã lật mặt phẳng. Trong đồ hoạ máy tính, dấu này được dùng để biết một mặt của vật thể đang quay về phía người xem hay quay đi.
Định thức dùng vào đâu và khi nào không nên tính nó
Trong lý thuyết, định thức trả lời nhanh câu hỏi ma trận có khả nghịch hay không, hệ phương trình vuông có nghiệm duy nhất hay không, và là công cụ để tìm trị riêng qua phương trình đặc trưng. Trong giải tích nhiều biến, định thức của ma trận Jacobi cho biết diện tích, thể tích co giãn thế nào khi đổi biến tích phân, ví dụ khi chuyển sang toạ độ cực, hệ số đó bằng r. Trong hình học, nó cho diện tích tam giác và thể tích khối hộp từ toạ độ đỉnh.
Trong tính toán số thực tế lại khác. Muốn biết một ma trận lớn có "gần suy biến" không, định thức là thước đo tồi: ma trận đơn vị cỡ 100 nhân với 0,1 có định thức bằng 0,1 mũ 100, cực nhỏ, nhưng ma trận đó vẫn hoàn toàn dễ giải. Người làm tính toán dùng số điều kiện thay cho định thức. Giải hệ bằng quy tắc Cramer, tức dùng định thức cho từng ẩn, cũng chỉ hợp cho ma trận nhỏ khi tính tay.
Với AI, cách học tốt là hỏi về ý nghĩa và để máy tính đại số tính con số. Câu lệnh mẫu: "Giải thích vì sao định thức của tích bằng tích các định thức bằng ý nghĩa hệ số diện tích, không dùng công thức hoán vị. Sau đó hỏi lại một câu để kiểm." Còn khi chatbot tính định thức 3×3 có số âm, hãy luôn kiểm lại bằng một cách thứ hai như ví dụ phía trên.
Câu hỏi thường gặp
Ma trận không vuông có định thức không?
Không. Định thức chỉ định nghĩa cho ma trận vuông, vì chỉ khi số hàng bằng số cột thì phép biến đổi mới đi từ một không gian vào chính nó và việc so sánh diện tích, thể tích mới có nghĩa. Với ma trận chữ nhật, khái niệm thay thế hay dùng là hạng và các giá trị kỳ dị.
Định thức rất nhỏ có nghĩa là ma trận gần suy biến không?
Không nhất thiết. Định thức nhạy với việc nhân cả ma trận với một hằng số: thu nhỏ mọi thứ mười lần làm định thức nhỏ đi rất nhiều mà khả năng giải hệ không đổi. Để đo mức gần suy biến, người ta dùng số điều kiện, là tỉ số giữa giá trị kỳ dị lớn nhất và nhỏ nhất.
Có cách nào kiểm nhanh kết quả định thức 3×3 không?
Có ba cách: tính lại bằng phương pháp khác, chẳng hạn Sarrus và khai triển theo một cột khác; khử Gauss về tam giác rồi nhân đường chéo; hoặc dùng máy tính đại số. Nếu hai cách tính tay cho kết quả khác nhau, thường là sai dấu ở một định thức con.
Vì sao dấu trong khai triển Laplace xen kẽ?
Dấu tại hàng i, cột j bằng âm một mũ i cộng j, tạo thành bàn cờ cộng trừ. Nó đến từ việc đưa phần tử đó về góc trên trái cần bao nhiêu lần đổi chỗ hàng và cột liền kề; mỗi lần đổi chỗ làm định thức đổi dấu một lần, đúng như tính chất đổi hai hàng.
Ai nghĩ ra định thức?
Ý tưởng định thức xuất hiện từ cuối thế kỷ XVII trong công trình của Seki Takakazu ở Nhật Bản và Leibniz ở châu Âu, khi họ nghiên cứu điều kiện để hệ phương trình có nghiệm, tức là trước cả khái niệm ma trận. Cái tên định thức và lý thuyết hệ thống được phát triển dần trong thế kỷ XVIII và XIX.