Chứng minh phản chứng là cách chứng minh một mệnh đề bằng cách giả sử nó sai, rồi lập luận chặt chẽ tới một điều vô lý; vì từ giả sử đó chỉ ra được điều vô lý, giả sử phải bỏ, và mệnh đề ban đầu đúng. Đây là kỹ thuật mạnh nhất cho những mệnh đề kiểu "không tồn tại", "không thể", "có vô hạn", vì những mệnh đề đó gần như không cho bạn điểm xuất phát nào để đi thẳng.
Bài này đi qua hai ví dụ kinh điển mà mọi giáo trình đều dùng: căn bậc hai của 2 không phải số hữu tỉ, và tập số nguyên tố là vô hạn. Sau đó là cách viết một chứng minh phản chứng sạch sẽ, phân biệt phản chứng với phản đảo, những lỗi hay gặp, và cách dùng AI để kiểm phần lập luận.
Phản chứng hoạt động thế nào và vì sao nó hợp lệ
Logic cổ điển mà toán học thông thường dùng có hai nguyên tắc nền: một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai, và mỗi mệnh đề hoặc đúng hoặc sai. Từ đó suy ra cách lập luận sau. Muốn chứng minh Q, bạn thêm vào giả thiết "Q sai", rồi lập luận đúng quy tắc. Nếu đến một lúc bạn thu được một cặp khẳng định trái nhau, chẳng hạn một số vừa chẵn vừa lẻ, hay một số nguyên vừa lớn hơn 1 vừa bằng 1, thì hệ giả thiết bạn đang dùng không thể cùng đúng. Các giả thiết gốc của đề được coi là đúng, nên thứ phải bỏ là giả thiết bạn thêm vào, tức Q sai là không thể, nghĩa là Q đúng.
Điểm mấu chốt nằm ở chữ "lập luận đúng quy tắc". Mâu thuẫn chỉ có giá trị khi nó sinh ra từ giả thiết thêm vào cộng với những điều đã biết là đúng. Nếu giữa đường bạn lỡ dùng một bước sai, mâu thuẫn có thể đến từ bước sai đó chứ không phải từ giả thiết, và cả chứng minh sụp đổ mà nhìn bề ngoài vẫn thấy gọn gàng.
Cũng nên biết rằng có một trường phái toán học, gọi là toán kiến thiết, không chấp nhận mọi dạng phản chứng, nhất là khi dùng để khẳng định một vật tồn tại mà không chỉ ra được vật đó. Ở mức giáo trình đại học thông thường, phản chứng là công cụ hợp lệ và được dùng rộng rãi; chỉ cần biết rằng ranh giới này tồn tại để không ngạc nhiên khi gặp nó.
Ví dụ kinh điển thứ nhất: căn bậc hai của 2 là số vô tỉ
Mệnh đề: không có số hữu tỉ nào bình phương lên bằng 2. Chứng minh, viết từng bước để bạn đối chiếu:
- Giả sử ngược lại rằng căn bậc hai của 2 là số hữu tỉ. Khi đó có thể viết nó bằng phân số a/b với a, b nguyên dương, và phân số đã tối giản, tức a và b không có ước chung lớn hơn 1.
- Bình phương hai vế: 2 = a²/b², nên a² = 2b². Vậy a² là số chẵn.
- Nếu a lẻ thì a² lẻ (đã chứng minh: bình phương số lẻ là số lẻ). Do a² chẵn nên a phải chẵn, viết a = 2k.
- Thay vào: (2k)² = 2b², tức 4k² = 2b², nên b² = 2k². Vậy b² chẵn, và theo lập luận như trên, b cũng chẵn.
- Cả a và b đều chẵn, nên có ước chung 2, trái với giả thiết phân số a/b tối giản. Mâu thuẫn.
- Vậy giả sử ban đầu sai: căn bậc hai của 2 không phải số hữu tỉ.
Có hai chỗ đáng chú ý. Bước tối giản phân số là hợp lệ vì mọi số hữu tỉ dương đều viết được dưới dạng phân số tối giản; đây là điều kiện then chốt tạo ra mâu thuẫn. Và bước "a² chẵn nên a chẵn" thực chất là dùng phản đảo của mệnh đề "a lẻ thì a² lẻ", một kỹ thuật có bài riêng trong danh mục.
Ví dụ kinh điển thứ hai: có vô số số nguyên tố
Lập luận này xuất hiện trong bộ Cơ sở của Euclid từ thời Hy Lạp cổ đại, và đến nay vẫn được dạy gần như nguyên dạng. Giả sử ngược lại rằng chỉ có hữu hạn số nguyên tố, liệt kê hết chúng là p1, p2, …, pk. Xét số N = p1·p2·…·pk + 1. Số N lớn hơn 1 nên có ít nhất một ước nguyên tố, gọi là q. Vì danh sách đã liệt kê đủ mọi số nguyên tố, q phải là một trong các pi. Nhưng khi chia N cho bất kỳ pi nào cũng dư 1, nên không pi nào chia hết N. Mâu thuẫn, vậy số nguyên tố có vô hạn.
Có một hiểu lầm rất phổ biến ở đây, và chatbot cũng hay lặp lại: cho rằng N luôn là số nguyên tố. Không phải vậy. Lấy sáu số nguyên tố đầu tiên: 2·3·5·7·11·13 = 30030, cộng 1 được 30031. Số này bằng 59·509, là hợp số. Chứng minh không cần N nguyên tố; nó chỉ cần N có một ước nguyên tố nằm ngoài danh sách, và điều đó luôn đúng.
Cũng có thể viết lại lập luận này mà không cần phản chứng: với bất kỳ danh sách hữu hạn số nguyên tố nào, số N như trên có một ước nguyên tố không nằm trong danh sách, nên không danh sách hữu hạn nào chứa hết. Nhiều người viết sách thích cách trình bày trực tiếp này hơn vì nó chỉ ra cụ thể cách tạo số nguyên tố mới. Đây là một bài học nhỏ: phản chứng không phải lúc nào cũng cần thiết, kể cả trong ví dụ kinh điển của nó.
Phản chứng khác phản đảo thế nào
Hai kỹ thuật này hay bị gọi lẫn tên, vì cùng bắt đầu bằng chữ "giả sử không". Bảng dưới đặt chúng cạnh nhau cho mệnh đề "nếu P thì Q".
| Tiêu chí | Phản chứng | Phản đảo |
|---|---|---|
| Giả sử ban đầu | P đúng và Q sai, cùng lúc | Q sai |
| Đích cần tới | Bất kỳ mâu thuẫn nào | Chứng minh P sai |
| Cơ sở logic | Hệ giả thiết dẫn tới mâu thuẫn thì phải bỏ giả thiết thêm vào | "Nếu P thì Q" tương đương "nếu không Q thì không P" |
| Hợp với | Mệnh đề "không tồn tại", "vô hạn", "không thể" | Khi "không Q" cho điểm xuất phát dễ hơn "P" |
| Ví dụ | Căn bậc hai của 2 vô tỉ | n² chẵn thì n chẵn |
Một mẹo nhỏ: nếu viết xong một chứng minh phản chứng mà mâu thuẫn cuối cùng chính là "P sai", trong khi P là giả thiết, thì thực ra bạn vừa viết một chứng minh phản đảo. Viết lại theo dạng phản đảo thường gọn hơn và người đọc dễ theo hơn.
Lỗi hay gặp khi viết chứng minh phản chứng
Phủ định sai kết luận. Phủ định của "mọi số trong tập đều dương" là "có ít nhất một số không dương", không phải "mọi số đều âm". Phủ định sai thì mâu thuẫn tìm được không bác bỏ đúng điều cần bác bỏ.
Mâu thuẫn đến từ một bước sai chứ không phải từ giả thiết. Một lỗi tính toán ở giữa có thể tạo ra một "mâu thuẫn" rất đẹp. Trước khi tuyên bố xong, đọc lại từng bước và hỏi: nếu bỏ giả thiết phản chứng đi, bước này có còn đúng không, và mâu thuẫn có thật sự cần giả thiết đó không.
Không nói rõ đang giả sử gì. Câu mở đầu phải ghi rõ "Giả sử ngược lại rằng…" kèm nội dung cụ thể. Người đọc cần biết điều nào là giả thiết tạm thời để khi tới mâu thuẫn hiểu được cái gì bị bác bỏ.
Dùng phản chứng như một lớp vỏ thừa. Viết "giả sử Q sai", rồi bỏ quên giả thiết đó, chứng minh thẳng Q, cuối cùng nói "mâu thuẫn với Q sai". Chứng minh vẫn đúng nhưng vòng vèo; bỏ lớp vỏ đi và giữ phần ruột.
Không nêu mâu thuẫn cụ thể. Kết thúc bằng "điều này vô lý" mà không chỉ ra hai khẳng định nào trái nhau khiến người chấm không kiểm được. Viết rõ: "a và b cùng chẵn, trái với giả thiết a/b tối giản".
Khi nào không nên dùng phản chứng
Sinh viên mới học phản chứng thường dùng nó cho mọi bài, vì cảm giác có thêm một giả thiết để bám vào thì dễ hơn. Cái giá phải trả là chứng minh dài hơn và khó đọc hơn, và quan trọng hơn, nó che mất thông tin. Một chứng minh trực tiếp cho bạn biết vì sao kết luận đúng; một chứng minh phản chứng chỉ cho bạn biết rằng kết luận không thể sai. Khi học, cái "vì sao" thường đáng giá hơn.
Dấu hiệu thứ nhất cho thấy không cần phản chứng: giả thiết đã cho bạn một phương trình hoặc một cấu trúc cụ thể để bắt đầu biến đổi, như "n là số lẻ" hay "a chia hết b". Khi đó hãy thử đi thẳng trước. Dấu hiệu thứ hai: bạn viết xong phản chứng và thấy giả thiết "Q sai" chỉ được dùng ở dòng cuối cùng. Điều đó có nghĩa là phần thân đã chứng minh thẳng Q rồi, và bạn có thể xoá lớp vỏ.
Ngược lại, phản chứng thật sự cần khi mệnh đề nói về sự không tồn tại hoặc tính vô hạn, khi bạn cần chứng minh tính duy nhất (giả sử có hai đối tượng khác nhau cùng thoả mãn rồi dẫn tới mâu thuẫn), hoặc khi phủ định của kết luận cho một cấu trúc cụ thể mà bản thân kết luận không cho. Trong những bài như vậy, phản chứng không phải mẹo mà là con đường tự nhiên nhất.
Dùng AI kiểm một chứng minh phản chứng
Chatbot thuộc lòng hai ví dụ kinh điển ở trên, nên kiểm chúng bằng AI không dạy bạn được nhiều. Chỗ AI có ích là khi bạn tự chứng minh một mệnh đề mới, ví dụ căn bậc hai của 3 vô tỉ, hay căn bậc hai của 6 vô tỉ. Ở căn của 3, bước "a² chia hết cho 3 nên a chia hết cho 3" cần một lý do riêng, vì không thể bê nguyên lập luận chẵn lẻ sang. Gửi chứng minh của bạn kèm câu lệnh: "Kiểm chứng minh phản chứng dưới đây. Với mỗi bước, cho biết bước đó có dùng giả thiết phản chứng không, và lý do nào biện minh cho bước đó. Nếu thiếu lý do, chỉ ra dòng nào nhưng đừng viết hộ phần sửa."
Một bài tập hay để thử chính AI: yêu cầu nó "chứng minh" rằng căn bậc hai của 4 là số vô tỉ theo đúng khuôn của căn 2. Lập luận giả sẽ hỏng ở bước tương ứng với "a² chia hết cho 4 nên a chia hết cho 4", vì điều này sai (a = 2 là phản ví dụ). Xem AI có tự phát hiện ra hay không là một cách tốt để thấy nó đang suy luận hay chỉ đang lắp khuôn. Sau đó bạn tự giải thích vì sao khuôn chạy được với 2 và 3 mà không chạy với 4.
Như mọi lần dùng AI với toán, phản hồi của nó cần được kiểm lại bằng định nghĩa. Nếu nó nói một bước "hiển nhiên", bạn vẫn phải tự trả lời được vì sao bước đó đúng. Và với bài kiểm tra có chấm điểm, phần chứng minh trên giấy phải là của bạn.
Câu hỏi thường gặp
Chứng minh phản chứng có phải luôn hợp lệ không?
Trong logic cổ điển mà toán học thông thường dùng, phản chứng là hợp lệ. Một số trường phái như toán kiến thiết hạn chế nó, nhất là khi khẳng định một vật tồn tại mà không chỉ ra được vật đó. Ở giáo trình đại học phổ biến, bạn dùng thoải mái.
Số N bằng tích các số nguyên tố cộng 1 có luôn là số nguyên tố không?
Không. Ví dụ tích sáu số nguyên tố đầu tiên cộng 1 bằng 30031, mà 30031 bằng 59 nhân 509. Chứng minh của Euclid chỉ cần N có một ước nguyên tố không nằm trong danh sách, không cần N là số nguyên tố.
Vì sao trong chứng minh căn 2 vô tỉ phải giả sử phân số tối giản?
Vì mâu thuẫn cuối cùng là cả tử và mẫu đều chẵn. Nếu không giả sử tối giản thì cả tử và mẫu cùng chẵn chẳng mâu thuẫn với điều gì. Mọi số hữu tỉ dương đều viết được dạng tối giản nên giả sử này hợp lệ.
Làm sao biết bài nào nên dùng phản chứng?
Mệnh đề có dạng không tồn tại, không thể, có vô hạn, hoặc là duy nhất thường hợp với phản chứng, vì khó tìm điểm xuất phát để đi thẳng. Nếu giả thiết cho bạn một phương trình rõ ràng thì nên thử chứng minh trực tiếp trước.
Phản chứng và phản đảo có thay thế được cho nhau không?
Mọi chứng minh phản đảo đều viết được thành phản chứng, nhưng ngược lại không phải lúc nào cũng gọn. Nếu mâu thuẫn bạn tìm được chính là giả thiết bị phủ định, hãy viết lại dưới dạng phản đảo cho dễ đọc.
Có thể dùng chatbot để kiểm chứng minh phản chứng của mình không?
Có, với điều kiện bạn yêu cầu nó chỉ ra bước thiếu lý do thay vì viết lại lời giải, và bạn tự kiểm lại mọi nhận xét. Hãy thử nó với các mệnh đề mới chứ không chỉ ví dụ kinh điển nó đã thuộc.